Tommaso Russo, Trieste
2013-04-14 22:45:49 UTC
In risposta a una domanda posta da gino-ansel sulla tensione generata
nel corso di suoi esperimenti con rotori di alternatori assiali: ma
forse puo' interessare anche altri. Osservazioni e commenti benvenuti.
Si consideri un lungo nastro di magneti parallelepipedi, con base
quadrata di lato 1 e altezza inferiore, e i poli N-S sulle facce
maggiori, appoggiati su un supporto piano orizzontale l'uno dopo l'altro
con polarita' alternate:
... N S N S N S ....
... S N S N S N ....
Sul piano verticale che interseca la mezzeria del nastro, l'andamento
delle linee di flusso e' (approssimativamente) questo:
Loading Image...
(le coordinate x pari, 0,2,4..., corrispondono ai centri dei magneti;
quelle dispari, -1,2,3,5... alle linee di separazione fra un magnete e
l'altro).
Al di sopra della mezzeria, ma vicinissima alle facce polari dei
magneti, trasla uniformemente una spira conduttrice rettangolare,
perfettamente verticale e con l'asse parallelo alla direzione del moto.
La spira e' interrotta, e dall'interruzione si dipartono due conduttori
isolati che portano ad un voltmetro, o meglio ad un oscilloscopio, la
FEM generata all'interno della spira. I conduttori sono strettamente
attorcigliati, in modo che il flusso concatenato *fra* i due sia sempre
praticamente nullo, o, che e' lo stesso, che le forze di Lorentz agenti
sugli elettroni dei due fili siano in ogni tratto praticamente eguali, e
quindi che il *loro* contributo alla FEM sia trascurabile.
Quale andamento nel tempo ha la FEM indotta nella spira?
1) Cominciamo col considerare una spira molto piccola. Basta guardare la
figura del link sopra per capire che, *in un intorno piuttosto lungo*
del centro del magnete (x=0, x=2, x=4...), il campo magnetico con cui
interagisce la spira e' praticamente uniforme, con tutte le linee di
forza quasi perfettamente (praticamente perfettamente) verticali: li' il
flusso *concatenato* con la spira e', e rimane, praticamente nullo.
"Praticamente" significa che la variazione e' al di sotto della
sensibilita' dei comuni strumenti di misura usati in pratica. Si possono
usare strumenti piu' sensibili, fino ad arrivare al limite tecnologico:
in tal caso, la lunghezza dell'intorno in cui la disuniformita' del
campo non e' apprezzabile si riduce, ma non si annulla mai.
Il flusso concatenato con la spira ha l'andamento della linea rossa
nella seguente figura:
<Loading Image...>
inizia a diventare apprezzabile quando la spira si avvicina al bordo del
magnete, dove le linee di forza che partono verticalmente dal magnete si
curvano, verso il magnete successivo, gia' nella piccola altezza della
spira; diventa massimo sulla linea di separazione fra i magneti (x=1),
dove tutte le linee di forza hanno tangente orizzontale, poi si riduce
fino a praticamente annullarsi nuovamente in un intorno del centro del
magnete successivo (x=2). Tornera' massimo, ma in verso opposto, sulla
linea di separazione successiva (x=3).
Dato che la spira si muove di moto uniforme, l'asse delle x si puo'
leggere come scala dei tempi, e la FEM e' proporzionale alla derivata
dell'andamento del tempo: nella figura e' rappresentata dalla linea
verde, che e' precisamente quella che sarebbe visibile sullo schermo di
un oscilloscopio. E', ovviamente, identicamente nulla quando la spira si
trova nei pressi del centro di un magnete, dove il flusso e' costante (e
nullo): mentre la spira passa da un magnete all'altro, aumenta
rapidamente sino a un massimo, si ri-annulla, diminuisce rapidamente
fino a un minimo e poi si riporta a zero, e zero rimane mentre la spira
sorvola il centro del magnete successivo.
Se la spira rimane della stessa altezza, ma viene resa molto piu' larga,
viene a cadere in una zona vicina ai limiti "destro e sinistro" dei
magneti, dove le linee di forza uscenti dai magneti non rimangono su un
piano parallelo alla linea di mezzeria, ma curvano verso l'esterno per
portarsi sulla faccia inferiore dello stesso magnete. Ma l'andamento
generale non cambia, perche' l'uniformita longitudinale resta invariata.
Semplicemente, le grandezze dei grafici (tutte) aumentano in modo *meno
che proporzionale* all'area della spira (mentre per spire molto piccole
sono esattamente proporzionali).
*Aumentando* le dimensioni della spira (sopratutto la sua altezza,
l'aumento della larghezza cambia solo le ampiezze), l'andamento generale
resta invariato: la differenza e' che la lunghezza dell'intorno dei
centri dei magneti in cui il flusso e' identicamente zero, si riduce via
via. Andamento del flusso e della FEM sono mostrati qui:
<Loading Image...>
<Loading Image...>
Come si vede, la FEM risultante e', si', periodica e alternata, ma *ben
lontana* dal regime sinusoidale. Un periodo richiede il passaggio di due
magneti, ognuno dei quali lungo 2: il periodo e' quindi 4. All'interno
di un periodo, per esempio quello fra -0.5 e 3.5, la FEM si annulla non
due ma *quattro* volte: in 0, in 1, in 2 e in 3.
- in 0 e in 2 la FEM si annulla
. perche' essendo le linee di flusso complanari con la spira, e
quindi ovunque ortogonali al moto della spira, le forze di Lorentz
agenti sugli elettroni liberi dei conduttori sono ovunque nulle.
. questo significa che' li' il flusso si annulla *sempre* (comunque
grande sia la spira) come un infinitesimo di ordine superiore a 2, in
quanto anche la sua derivata e' zero.
- in 1 e in 3 la FEM si annulla
. perche' li' il flusso raggiunge un massimo o un minimo, e quindi
la sua derivata e' zero
. o, ragionamento alternativo, perche' essendo le linee di flusso
ovunque parallele al moto della spira, le forze di Lorentz agenti sugli
elettroni liberi dei conduttori sono ovunque nulle.
Nel riferimento dove la spira e' a riposo e il nastro di magneti e' in
moto, i ragionamenti riguardanti il flusso restano invariati, ma quelli
riguardanti le forze di Lorentz vanno sostituiti con la trasformazione
di Lorentz del campo elettromagnetico. Le previsioni sull'andamento
della FEM visibile su un oscilloscopio rimangono le medesime.
E le previsioni rimangono praticamente invariate anche se al di sotto di
una spira ferma si fa ruotare un disco su cui sono fissati, a polarita'
alternate, magneti piatti non quadrati ma a forma di settore di corona
circolare, come quelli usati negli alternatori dei generatori eolici
autocostruibili.
nel corso di suoi esperimenti con rotori di alternatori assiali: ma
forse puo' interessare anche altri. Osservazioni e commenti benvenuti.
Si consideri un lungo nastro di magneti parallelepipedi, con base
quadrata di lato 1 e altezza inferiore, e i poli N-S sulle facce
maggiori, appoggiati su un supporto piano orizzontale l'uno dopo l'altro
con polarita' alternate:
... N S N S N S ....
... S N S N S N ....
Sul piano verticale che interseca la mezzeria del nastro, l'andamento
delle linee di flusso e' (approssimativamente) questo:
Loading Image...
(le coordinate x pari, 0,2,4..., corrispondono ai centri dei magneti;
quelle dispari, -1,2,3,5... alle linee di separazione fra un magnete e
l'altro).
Al di sopra della mezzeria, ma vicinissima alle facce polari dei
magneti, trasla uniformemente una spira conduttrice rettangolare,
perfettamente verticale e con l'asse parallelo alla direzione del moto.
La spira e' interrotta, e dall'interruzione si dipartono due conduttori
isolati che portano ad un voltmetro, o meglio ad un oscilloscopio, la
FEM generata all'interno della spira. I conduttori sono strettamente
attorcigliati, in modo che il flusso concatenato *fra* i due sia sempre
praticamente nullo, o, che e' lo stesso, che le forze di Lorentz agenti
sugli elettroni dei due fili siano in ogni tratto praticamente eguali, e
quindi che il *loro* contributo alla FEM sia trascurabile.
Quale andamento nel tempo ha la FEM indotta nella spira?
1) Cominciamo col considerare una spira molto piccola. Basta guardare la
figura del link sopra per capire che, *in un intorno piuttosto lungo*
del centro del magnete (x=0, x=2, x=4...), il campo magnetico con cui
interagisce la spira e' praticamente uniforme, con tutte le linee di
forza quasi perfettamente (praticamente perfettamente) verticali: li' il
flusso *concatenato* con la spira e', e rimane, praticamente nullo.
"Praticamente" significa che la variazione e' al di sotto della
sensibilita' dei comuni strumenti di misura usati in pratica. Si possono
usare strumenti piu' sensibili, fino ad arrivare al limite tecnologico:
in tal caso, la lunghezza dell'intorno in cui la disuniformita' del
campo non e' apprezzabile si riduce, ma non si annulla mai.
Il flusso concatenato con la spira ha l'andamento della linea rossa
nella seguente figura:
<Loading Image...>
inizia a diventare apprezzabile quando la spira si avvicina al bordo del
magnete, dove le linee di forza che partono verticalmente dal magnete si
curvano, verso il magnete successivo, gia' nella piccola altezza della
spira; diventa massimo sulla linea di separazione fra i magneti (x=1),
dove tutte le linee di forza hanno tangente orizzontale, poi si riduce
fino a praticamente annullarsi nuovamente in un intorno del centro del
magnete successivo (x=2). Tornera' massimo, ma in verso opposto, sulla
linea di separazione successiva (x=3).
Dato che la spira si muove di moto uniforme, l'asse delle x si puo'
leggere come scala dei tempi, e la FEM e' proporzionale alla derivata
dell'andamento del tempo: nella figura e' rappresentata dalla linea
verde, che e' precisamente quella che sarebbe visibile sullo schermo di
un oscilloscopio. E', ovviamente, identicamente nulla quando la spira si
trova nei pressi del centro di un magnete, dove il flusso e' costante (e
nullo): mentre la spira passa da un magnete all'altro, aumenta
rapidamente sino a un massimo, si ri-annulla, diminuisce rapidamente
fino a un minimo e poi si riporta a zero, e zero rimane mentre la spira
sorvola il centro del magnete successivo.
Se la spira rimane della stessa altezza, ma viene resa molto piu' larga,
viene a cadere in una zona vicina ai limiti "destro e sinistro" dei
magneti, dove le linee di forza uscenti dai magneti non rimangono su un
piano parallelo alla linea di mezzeria, ma curvano verso l'esterno per
portarsi sulla faccia inferiore dello stesso magnete. Ma l'andamento
generale non cambia, perche' l'uniformita longitudinale resta invariata.
Semplicemente, le grandezze dei grafici (tutte) aumentano in modo *meno
che proporzionale* all'area della spira (mentre per spire molto piccole
sono esattamente proporzionali).
*Aumentando* le dimensioni della spira (sopratutto la sua altezza,
l'aumento della larghezza cambia solo le ampiezze), l'andamento generale
resta invariato: la differenza e' che la lunghezza dell'intorno dei
centri dei magneti in cui il flusso e' identicamente zero, si riduce via
via. Andamento del flusso e della FEM sono mostrati qui:
<Loading Image...>
<Loading Image...>
Come si vede, la FEM risultante e', si', periodica e alternata, ma *ben
lontana* dal regime sinusoidale. Un periodo richiede il passaggio di due
magneti, ognuno dei quali lungo 2: il periodo e' quindi 4. All'interno
di un periodo, per esempio quello fra -0.5 e 3.5, la FEM si annulla non
due ma *quattro* volte: in 0, in 1, in 2 e in 3.
- in 0 e in 2 la FEM si annulla
. perche' essendo le linee di flusso complanari con la spira, e
quindi ovunque ortogonali al moto della spira, le forze di Lorentz
agenti sugli elettroni liberi dei conduttori sono ovunque nulle.
. questo significa che' li' il flusso si annulla *sempre* (comunque
grande sia la spira) come un infinitesimo di ordine superiore a 2, in
quanto anche la sua derivata e' zero.
- in 1 e in 3 la FEM si annulla
. perche' li' il flusso raggiunge un massimo o un minimo, e quindi
la sua derivata e' zero
. o, ragionamento alternativo, perche' essendo le linee di flusso
ovunque parallele al moto della spira, le forze di Lorentz agenti sugli
elettroni liberi dei conduttori sono ovunque nulle.
Nel riferimento dove la spira e' a riposo e il nastro di magneti e' in
moto, i ragionamenti riguardanti il flusso restano invariati, ma quelli
riguardanti le forze di Lorentz vanno sostituiti con la trasformazione
di Lorentz del campo elettromagnetico. Le previsioni sull'andamento
della FEM visibile su un oscilloscopio rimangono le medesime.
E le previsioni rimangono praticamente invariate anche se al di sotto di
una spira ferma si fa ruotare un disco su cui sono fissati, a polarita'
alternate, magneti piatti non quadrati ma a forma di settore di corona
circolare, come quelli usati negli alternatori dei generatori eolici
autocostruibili.
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TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
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