Elio Fabri
2016-12-11 21:09:43 UTC
Quello che segue è la replica di un post che avevo scritto il 6-1 c.a.
Con l'occasione ho corretto alcuni errori che aveva segnalato Giorgio
Bibbiani.
======================================================
Questo post ha un carattere paradossale: quelli cui sarebbe destinato
non sono in grado di capirlo, per carenza profonda di conoscenze, sia
fisiche che matematiche.
Quelli che sono in grado di capirlo con alta probab. non ne hanno
bisogno, perché già sanno quello che sto per scrivere.
C'è però la possibilità di una terza categoria di lettori: quelli che
ne sanno un po' ma non hanno mai visto trattare l'argomento con suff.
chiarezza e dettaglio.
Mi auguro insomma che a qualcuno possa servire...
Il problema è quello - accesamente discusso, come abbiamo visto - delle
cosiddette "antenne magnetiche".
Voglio dimostrare che si tratta di un falso problema, che si può porre
solo chi non conosce le eq. di Maxwell.
(Quanto a quelli poi che ne contestano la validità, in particolare per
la corrente di spostamento, c'è una sola cosa da dire: andrebbero
sottoposti a TSO.)
Terrò la matematica al minimo indispensabile. Se per qualcuno anche
questo minimo è troppo, il problema è suo: si occupi d'altro e smetta
di cianciare di antenne.
Abbiamo un'antenna ricevente, che prendo in forma di quadrato, di lato
2l (la forma è inessenziale, ma questa semplifica i conti).
L'antenna si trova in un piano verticale, dove assumo un asse x
orizzontale e un asse y verticale. L'origine sta nel centro del lato
inferiore del quadrato.
Questo è anche il punto dove la spira è interrotta e dove viene
prelevato il segnale.
L'asse z è perp. al piano dell'antenna, come di consueto.
L'onda e.m. (monocromatica, piana, polarizzata linearmente) suppongo
arrivi dalla direzione x (negativa).
Il campo E abbia la sola componente y, con l'espressione
E_y = A*sin(kx-wt)
con A ampiezza (reale, costante). Poi w=ck, la l. d'onda è L = 2pi/k.
Assumerò l<<L.
Ancora: il campo B ha la sola componente z, che vale
B_z = (A/c)*sin(kx-wt).
Lascio al lettore verificare che E e B soddisfano le eq di Maxwell nel
vuoto. Comunque ne riparleremo...
Si chiede di calcolare il segnale ai terminali dell'antenna, inteso
come d.d.p. che può essere applicata a un carico (es. ingresso di un
amplificatore).
Seguirò due strade: una che fa uso di E, e una che fa uso di B.
Naturalmente otterremo lo stesso risultato.
1. Attraverso il campo elettrico.
=================================
Per semplicità sia trascurabile la resistenza della spira. Allora E
all'interno del filo deve esere nullo, il che significa che delle
cariche elettriche debbono muoversi nel filo in modo tale che il loro
campo compensi istante per istante quello dell'onda incidente.
E' qui che entra l'ipotesi l<<L, che può essere letta 1/f >> t, dove f
è la freq. dell'onda, t il tempo che impiega una perturbazione e.m. a
propagarsi lungo la spira.
Infatti t = l/c, f = c/L. Si ha 1/f >> t se L/c >> l/c, c.v.d.
Quindi la variazione del campo esterno è *lenta*, e le cariche sul
filo fanno in tempo a produrre l'equilibrio elettrostatico detto sopra.
Consideriamo il lato verticale della spira posto in x=l: qui abbiamo
E_y = A*sin(kl-wt).
Il campo delle cariche sul filo sarà opposto, e la sua d.d.p. lungo il
detto lato verticale sarà
V(l,2l) - V(l,0) = 2*A*l*sin(kl-wt)
(indico in generale con V(x,y) il potensiale nel punto (x,y) del
filo).
Lo stesso ragionamento per l'altro lato verticale (x=-l) porta a
V(-l,2l) - V(-l,0) = 2*A*l*sin(-kl-wt).
Sui tratti orizzontali non c'è d.d.p, visto che E è sempre verticale;
ne segue che il segnale ai morsetti dell'antenna vale
V_out = V(l,0) - V(-l,0) = -2*A*l*sin(kl-wt) + 2*A*l*sin(-kl-wt) .
Un piccolo calcolo (formule di addizione) fornisce
V_out = -4*A*l*sin(kl)*cos(wt).
Ma kl = 2pi*l/L << 1, per cui posso approssimare sin(kl) con kl:
V_out = -4k*A*l^2*cos(wt) = -(k*A*S)*cos(wt) (1)
se S = 4l^2 è l'area della spira.
La (1) fornisce la risposta, che vale la pena di commentare velocemente.
Il segnale ai morsetti non è nullo perché i campi indotti sui due lati
verticali della spira *sono sfasati*.
Sono sfasati perché l'onda, che viaggia nel verso delle x crescenti,
arriva prima al lato x=-l e poi al lato x=l.
V_out>0 significa che il morsetto destro è a potenziale più alto del
sinistro.
Se colleghiamo ai morsetti d'antenna un carico, per es. una resistenza
R, in questa scorrerà una corrente
I = V_out/R = -(k*A*S/R)*cos(wt)
dove I>0 se la corrente nella resistenza va dal terminale destro al
sinistro.
2. Attraverso il campo magnetico.
=================================
Questo calcolo è più semplice.
Il campo B ha un flusso Phi concatenato con la spira.
Trattando B_z come uniforme (sempre perché l<<L), col valore che
prende in x=0:
B_z = -(A/c)*sin(wt),
e il flusso vale
Phi = S*B_z = -(S*A/c)*sin(wt).
Bisogna però fare attenzione ai segni.
Con la solita convenzione di prendere il verso sulla spira antiorario
rispetto al verso della normale, se questa è concorde con l'asse z il
verso positivo sulla spira è verso l'alto sul lato x=l, verso il basso
sul lato x=-l, verso destra (x crescenti) sul lato orizz. inferiore.
La legge dell'induzione ci dice che la f.e.m. indotta V_ind uguaglia
-dPhi/dt:
V_ind = -dPhi/dt = S*(A/c)*w*cos(wt) = S*A*k*cos(wt). (2)
Apparentemente la (2) ha segno opposto alla (1), ma solo perché il
verso positivo ora va dal morsetto sinistro al destro.
Chiarito questo, (1) e (2) sono identiche.
Conclusione: non ha nessun senso chiamare la spira un'antenna
"magnetica".
Si ottiene lo stesso risultato per la f.e.m. e per la corrente in un
carico sia basandosi sul campo elettrico dell'onda, sia sul campo
magnetico.
Con l'occasione ho corretto alcuni errori che aveva segnalato Giorgio
Bibbiani.
======================================================
Questo post ha un carattere paradossale: quelli cui sarebbe destinato
non sono in grado di capirlo, per carenza profonda di conoscenze, sia
fisiche che matematiche.
Quelli che sono in grado di capirlo con alta probab. non ne hanno
bisogno, perché già sanno quello che sto per scrivere.
C'è però la possibilità di una terza categoria di lettori: quelli che
ne sanno un po' ma non hanno mai visto trattare l'argomento con suff.
chiarezza e dettaglio.
Mi auguro insomma che a qualcuno possa servire...
Il problema è quello - accesamente discusso, come abbiamo visto - delle
cosiddette "antenne magnetiche".
Voglio dimostrare che si tratta di un falso problema, che si può porre
solo chi non conosce le eq. di Maxwell.
(Quanto a quelli poi che ne contestano la validità, in particolare per
la corrente di spostamento, c'è una sola cosa da dire: andrebbero
sottoposti a TSO.)
Terrò la matematica al minimo indispensabile. Se per qualcuno anche
questo minimo è troppo, il problema è suo: si occupi d'altro e smetta
di cianciare di antenne.
Abbiamo un'antenna ricevente, che prendo in forma di quadrato, di lato
2l (la forma è inessenziale, ma questa semplifica i conti).
L'antenna si trova in un piano verticale, dove assumo un asse x
orizzontale e un asse y verticale. L'origine sta nel centro del lato
inferiore del quadrato.
Questo è anche il punto dove la spira è interrotta e dove viene
prelevato il segnale.
L'asse z è perp. al piano dell'antenna, come di consueto.
L'onda e.m. (monocromatica, piana, polarizzata linearmente) suppongo
arrivi dalla direzione x (negativa).
Il campo E abbia la sola componente y, con l'espressione
E_y = A*sin(kx-wt)
con A ampiezza (reale, costante). Poi w=ck, la l. d'onda è L = 2pi/k.
Assumerò l<<L.
Ancora: il campo B ha la sola componente z, che vale
B_z = (A/c)*sin(kx-wt).
Lascio al lettore verificare che E e B soddisfano le eq di Maxwell nel
vuoto. Comunque ne riparleremo...
Si chiede di calcolare il segnale ai terminali dell'antenna, inteso
come d.d.p. che può essere applicata a un carico (es. ingresso di un
amplificatore).
Seguirò due strade: una che fa uso di E, e una che fa uso di B.
Naturalmente otterremo lo stesso risultato.
1. Attraverso il campo elettrico.
=================================
Per semplicità sia trascurabile la resistenza della spira. Allora E
all'interno del filo deve esere nullo, il che significa che delle
cariche elettriche debbono muoversi nel filo in modo tale che il loro
campo compensi istante per istante quello dell'onda incidente.
E' qui che entra l'ipotesi l<<L, che può essere letta 1/f >> t, dove f
è la freq. dell'onda, t il tempo che impiega una perturbazione e.m. a
propagarsi lungo la spira.
Infatti t = l/c, f = c/L. Si ha 1/f >> t se L/c >> l/c, c.v.d.
Quindi la variazione del campo esterno è *lenta*, e le cariche sul
filo fanno in tempo a produrre l'equilibrio elettrostatico detto sopra.
Consideriamo il lato verticale della spira posto in x=l: qui abbiamo
E_y = A*sin(kl-wt).
Il campo delle cariche sul filo sarà opposto, e la sua d.d.p. lungo il
detto lato verticale sarà
V(l,2l) - V(l,0) = 2*A*l*sin(kl-wt)
(indico in generale con V(x,y) il potensiale nel punto (x,y) del
filo).
Lo stesso ragionamento per l'altro lato verticale (x=-l) porta a
V(-l,2l) - V(-l,0) = 2*A*l*sin(-kl-wt).
Sui tratti orizzontali non c'è d.d.p, visto che E è sempre verticale;
ne segue che il segnale ai morsetti dell'antenna vale
V_out = V(l,0) - V(-l,0) = -2*A*l*sin(kl-wt) + 2*A*l*sin(-kl-wt) .
Un piccolo calcolo (formule di addizione) fornisce
V_out = -4*A*l*sin(kl)*cos(wt).
Ma kl = 2pi*l/L << 1, per cui posso approssimare sin(kl) con kl:
V_out = -4k*A*l^2*cos(wt) = -(k*A*S)*cos(wt) (1)
se S = 4l^2 è l'area della spira.
La (1) fornisce la risposta, che vale la pena di commentare velocemente.
Il segnale ai morsetti non è nullo perché i campi indotti sui due lati
verticali della spira *sono sfasati*.
Sono sfasati perché l'onda, che viaggia nel verso delle x crescenti,
arriva prima al lato x=-l e poi al lato x=l.
V_out>0 significa che il morsetto destro è a potenziale più alto del
sinistro.
Se colleghiamo ai morsetti d'antenna un carico, per es. una resistenza
R, in questa scorrerà una corrente
I = V_out/R = -(k*A*S/R)*cos(wt)
dove I>0 se la corrente nella resistenza va dal terminale destro al
sinistro.
2. Attraverso il campo magnetico.
=================================
Questo calcolo è più semplice.
Il campo B ha un flusso Phi concatenato con la spira.
Trattando B_z come uniforme (sempre perché l<<L), col valore che
prende in x=0:
B_z = -(A/c)*sin(wt),
e il flusso vale
Phi = S*B_z = -(S*A/c)*sin(wt).
Bisogna però fare attenzione ai segni.
Con la solita convenzione di prendere il verso sulla spira antiorario
rispetto al verso della normale, se questa è concorde con l'asse z il
verso positivo sulla spira è verso l'alto sul lato x=l, verso il basso
sul lato x=-l, verso destra (x crescenti) sul lato orizz. inferiore.
La legge dell'induzione ci dice che la f.e.m. indotta V_ind uguaglia
-dPhi/dt:
V_ind = -dPhi/dt = S*(A/c)*w*cos(wt) = S*A*k*cos(wt). (2)
Apparentemente la (2) ha segno opposto alla (1), ma solo perché il
verso positivo ora va dal morsetto sinistro al destro.
Chiarito questo, (1) e (2) sono identiche.
Conclusione: non ha nessun senso chiamare la spira un'antenna
"magnetica".
Si ottiene lo stesso risultato per la f.e.m. e per la corrente in un
carico sia basandosi sul campo elettrico dell'onda, sia sul campo
magnetico.
--
Elio Fabri
Elio Fabri