Dimensioni fisiche nelle funzioni trascendenti

[Yoda]

In un post sulla relativita', di stamani qui su fisf, ho trovato un
cenno ai moti cosiddetti iperbolici, nei quali spesso si usano le
funzioni iperboliche: seno, coseno e tangente iperbolici, che qui nei
NG penso convenga indicare con la maiuscola: Sh(t), Ch(t), Th(t).

Se siamo in matematica t e' una variabile numerica, cioe' un parametro
adimensionale, ma in fisica t ha le dimensioni di un tempo.
La mia domanda e': come ci si comporta con un tempo ad esponente?

In alcuni lavori ho superato questa situazione facendo:
Ch(t) -> 1/omega Ch(omega t), con omega costante unitaria delle
dimensioni dell'inverso di un tempo. Si puo' evitare tutto cio'?

[g***@gmail.com]

La mia domanda e' come ci si comporta con un tempo ad esponente?

Deve esserci da qualche parte all'interno dell'esponente anche una costante di tempo.

Vedi formule di elettronica, quelle del decadimento nucleare, formule della quantistica e perfino in medicina.

Sul web esiste un mio articolo originale sugli screening oncologici: http://digilander.libero.it/screeningoncologici/

Si tratta comunque di pura tecnica matematica, nonostante nel caso della quantistica c'e' chi si ostina a parlare di fenomeni fisici.

La costante di tempo infatti viene determinata a partire da una serie di misure effettuate sul campo.

Misure effettuate sul campo che fanno riferimento alla durata corrente del secondo.

Secondo che e' pero' ballerino perche' la Terra rallenta le sue rotazioni a causa principalmente delle maree.

E con l'inserimento del secondo intercalare che comunque non riesce a trasformare una semplice formula matematica in un fenomeno fisico.

Giovanni.

[Giorgio Bibbiani]

Post by Yoda
In un post sulla relativita', di stamani qui su fisf, ho trovato un
cenno ai moti cosiddetti iperbolici, nei quali spesso si usano le
funzioni iperboliche: seno, coseno e tangente iperbolici, che qui nei
NG penso convenga indicare con la maiuscola: Sh(t), Ch(t), Th(t).
Se siamo in matematica t e' una variabile numerica, cioe' un parametro
adimensionale, ma in fisica t ha le dimensioni di un tempo.

A me non risulta, l'argomento di una funzione iperbolica *deve*
essere adimensionale, sia in matematica che in fisica, altrimenti
ad es. sviluppando la funzione iperbolica in serie di potenze si
avrebbe una incongruenza dimensionale...

Ciao

[Pangloss]

Post by Yoda
In un post sulla relativita', di stamani qui su fisf, ho trovato un
cenno ai moti cosiddetti iperbolici, nei quali spesso si usano le
funzioni iperboliche: seno, coseno e tangente iperbolici, che qui nei
NG penso convenga indicare con la maiuscola: Sh(t), Ch(t), Th(t).
Se siamo in matematica t e' una variabile numerica, cioe' un parametro
adimensionale, ma in fisica t ha le dimensioni di un tempo.
La mia domanda e': come ci si comporta con un tempo ad esponente?
Ch(t) -> 1/omega Ch(omega t), con omega costante unitaria delle
dimensioni dell'inverso di un tempo. Si puo' evitare tutto cio'?

Come gia' detto da G.Bibbiani l'argomento deve essere _adimensionale_,
almeno se si intende scrivere una formula tra grandezze fisiche e non
solo una contingente relazioncina tra misure.
Dai un'occhiata sul "Vocabulaire" VIM del sito BIPM alle voci:
1.22 Quantity equation
1.25 Numerical value equation

Peccato che io non possa condividere l'identificazione tra grandezze
adimensionali e numeri (dichiarata dal BIPM e comunemente accettata).
La sintassi delle formule fisiche non dovrebbe essere una questione di
"buon senso" bensi' di "logica formale". Prima o poi mettero' in rete
un mio lavoro critico sull'argomento; per ora posso pubblicarne solo
un indice del tutto provvisorio:

http://pangloss.ilbello.com/Tmp/grf_preview_1.pdf

[Yoda]

Post by Pangloss

Post by Yoda
In un post sulla relativita', di stamani qui su fisf, ho trovato un
cenno ai moti cosiddetti iperbolici, nei quali spesso si usano le
funzioni iperboliche: seno, coseno e tangente iperbolici, che qui nei
NG penso convenga indicare con la maiuscola: Sh(t), Ch(t), Th(t).
Se siamo in matematica t e' una variabile numerica, cioe' un parametro
adimensionale, ma in fisica t ha le dimensioni di un tempo.
La mia domanda e': come ci si comporta con un tempo ad esponente?
Ch(t) -> 1/omega Ch(omega t), con omega costante unitaria delle
dimensioni dell'inverso di un tempo. Si puo' evitare tutto cio'?

Come gia' detto da G.Bibbiani l'argomento deve essere _adimensionale_,
almeno se si intende scrivere una formula tra grandezze fisiche e non
solo una contingente relazioncina tra misure.

Si' e grazie a entrambi, che debba essere adimensionale e' ben noto, mi
ero spiegato male, ora chiarisco.
1) Trovo: x = c Int[Sh(t) dt], con l'integrale definito tra 0 e t. Se
escludo che ci sia errore, allora come devo interpretare?
2) Fare i cambiamenti che ho riportato: Ch(t) -> 1/omega Ch(omega t),
e' oltre che pesantissimo anche mai usato, penso, quindi come evitare?

Provo a dire qualcosa stamani, perche' mi sembra di potermi forse
rispondere, comunque e' una questione che mi sembra molto delicata in
certi casi, ci vuole molta attenzione.
L'ascissa x dovrebbe essere un numero per definizione, allora la
dimensione fisica, ad esempio di una lunghezza, dovrebbe avercela il
versore dell'asse. In RR l'asse dei tempi, per omogeneita', ha c a
fattore di t, c quindi dovrebbe essere un numero, cioe' il valore della
velocita' nel sistema di misure che esplicitamente o no si e' adottato,
sara' poi il versore ad avere, di conseguenza, le dimensioni d'una
lunghezza.
Con questa sistemazine x, c, t son tutte quantita' numeriche. Puo'
andare?

Ho detto: "Delicata in certi casi", perche' se ad esempio in geometria
ho l'equazione risolvente un problema nella quale compaiono ad esempio
l'incognita x e il raggio r, si suole considerare l'omogeneita' come
condizione necessaria affinche' non ci sia errore... e adesso cosa devo
dire dell'omogeneita' tra grandezze tutte numeriche? Aggiungo che io
stesso ho appena detto: "e il raggio r", avrei dovuto dire meglio "e la
misura r del raggio".

Post by Pangloss
1.22 Quantity equation
1.25 Numerical value equation

Grazie, molto utile.

Post by Pangloss
Peccato che io non possa condividere l'identificazione tra grandezze
adimensionali e numeri (dichiarata dal BIPM e comunemente accettata).

Intereressante.

Post by Pangloss
La sintassi delle formule fisiche non dovrebbe essere una questione di
"buon senso" bensi' di "logica formale". Prima o poi mettero' in rete
un mio lavoro critico sull'argomento; per ora posso pubblicarne solo
http://pangloss.ilbello.com/Tmp/grf_preview_1.pdf

Segnalalo quando l'hai fatto, puo' essere anche piu' utile del VIM.

[Giorgio Bibbiani]

Post by Yoda
1) Trovo: x = c Int[Sh(t) dt], con l'integrale definito tra 0 e t. Se
escludo che ci sia errore, allora come devo interpretare?

Che c'e' un errore nella formula.

Post by Yoda
2) Fare i cambiamenti che ho riportato: Ch(t) -> 1/omega Ch(omega t),
e' oltre che pesantissimo anche mai usato, penso, quindi come evitare?

E' anche sbagliato, dato che il cosenoiperbolico e' adimensionale...

Post by Yoda
Provo a dire qualcosa stamani, perche' mi sembra di potermi forse
rispondere, comunque e' una questione che mi sembra molto delicata in
certi casi, ci vuole molta attenzione.
L'ascissa x dovrebbe essere un numero per definizione, allora la
dimensione fisica, ad esempio di una lunghezza, dovrebbe avercela il
versore dell'asse. In RR l'asse dei tempi, per omogeneita', ha c a
fattore di t, c quindi dovrebbe essere un numero, cioe' il valore
della velocita' nel sistema di misure che esplicitamente o no si e'
adottato, sara' poi il versore ad avere, di conseguenza, le
dimensioni d'una lunghezza.
Con questa sistemazine x, c, t son tutte quantita' numeriche. Puo'
andare?

No, x e t convenzionalmente rappresentano la coordinata di
posizione e l'istante di tempo, non possono essere entrambe
adimensionali, ovverosia se definisci x e t come ti pare poi
non riuscirai a farti capire dagli altri. ;-)

Ciao

[Yoda]

Post by Giorgio Bibbiani

Post by Yoda
Con questa sistemazine x, c, t son tutte quantita' numeriche. Puo'
andare?

No, x e t convenzionalmente rappresentano la coordinata di
posizione e l'istante di tempo, non possono essere entrambe
adimensionali, ovverosia se definisci x e t come ti pare poi
non riuscirai a farti capire dagli altri. ;-)

Un momento, chiariamo prima questo punto.
Quando in geometria piana scrivo A=(1, 2), e' giusto o sbagliato?
Perche' si scrive anche, e indifferentemente, A=(x, y).

[Giorgio Bibbiani]

Yoda ha scritto:

Intanto correggo il mio precedente refuso, era coseno iperbolico
e non cosenoiperbolico.

Post by Yoda
Quando in geometria piana scrivo A=(1, 2), e' giusto o sbagliato?
Perche' si scrive anche, e indifferentemente, A=(x, y).

Li' x e y sono 2 numeri, se invece nell'ambito della cinematica
indico con x la coordinata di posizione di un p.m., che e' una
grandezza fisica, allora x e' il simbolo che rappresenta un numero
e una unita' di misura, ad es. x = 4.3 m. A meno di non voler,
come scrivevo precedentemente, inventarsi le proprie convenzioni
e assicurarsi cosi' di risultare incompresi al mondo intero. ;-)

Nota: ti rimando a un divertente aneddoto tratto da uno dei libri
autobiografici di Feynman, in cui egli narra di quando, ancora
ragazzo, invento' una convenzione per rappresentare le funzioni
trigonometriche a suo dire molto piu' efficiente di quella normale,
ma smise immediatamente di utilizzarla quando si accorse che
altrimenti non sarebbe riuscito a farsi comprendere dagli altri...

Ciao

[Yoda]

Post by Giorgio Bibbiani

Post by Yoda
Quando in geometria piana scrivo A=(1, 2), e' giusto o sbagliato?
Perche' si scrive anche, e indifferentemente, A=(x, y).

Li' x e y sono 2 numeri, se invece nell'ambito della cinematica
indico con x la coordinata di posizione di un p.m., che e' una
grandezza fisica, allora x e' il simbolo che rappresenta un numero
e una unita' di misura, ad es. x = 4.3 m. A meno di non voler,
come scrivevo precedentemente, inventarsi le proprie convenzioni
e assicurarsi cosi' di risultare incompresi al mondo intero. ;-)

Non mi sembra corretto, x e y sono numeri anche in fisica, non puo'
esserci distinzione, tranne un caso di abuso di notazione per brevita'
tipo l'usare la stessa lettera: x=x(t) invece di x=f(t).
Te ne convinci se pensi che le coordinate sono terne (o n-ple)
numeriche con le quali fai la combinazione lineare dei vettori della
base: V = v1 I + v2 J + v3 K (maiuscoli i vettori, minuscoli gli
scalari), se le dimensioni fisiche appartenessero alle coordinate non
potremmo mai scrivere ad esempio: V = I - v2 J, oppure: V = 3J + K.

In altri termini, in fisica potrei o dovrei scrivere per una sola
dimensione: v = v1 m/s = 3 m/s, essendo 1 m/s il modulo del versore
dell'asse delle velocita', oppure, come usano ancora, intestare l'asse
rappresentativo con m/s (che poi tutto questo altro non e' che lo
scegliere e fissare l'unita' di misura), in ogni caso con v1 che e' una
variabile /numerica/. E' questo che mi fa pensare all'abuso, cioe' se
c'e' una sola dimensione l'ascissa la chiamo con lo stesso nome v e non
con v1.

[Pangloss]

Post by Yoda
.....
Te ne convinci se pensi che le coordinate sono terne (o n-ple)
numeriche con le quali fai la combinazione lineare dei vettori della
base: V = v1 I + v2 J + v3 K (maiuscoli i vettori, minuscoli gli
scalari), se le dimensioni fisiche appartenessero alle coordinate non
potremmo mai scrivere ad esempio: V = I - v2 J, oppure: V = 3J + K.

Il tuo punto di vista regge fintantoche' consideri solo combinazioni
lineari, ma cade in difetto per prodotti scalari e vettoriali.

[Yoda]

Post by Pangloss

Post by Yoda
.....
Te ne convinci se pensi che le coordinate sono terne (o n-ple)
numeriche con le quali fai la combinazione lineare dei vettori della
base: V = v1 I + v2 J + v3 K (maiuscoli i vettori, minuscoli gli
scalari), se le dimensioni fisiche appartenessero alle coordinate non
potremmo mai scrivere ad esempio: V = I - v2 J, oppure: V = 3J + K.

Il tuo punto di vista regge fintantoche' consideri solo combinazioni
lineari, ma cade in difetto per prodotti scalari e vettoriali.

Vediamo il lavoro di una forza nel piano:
F . S = f1 s1 N*m + f2 s2 N*m = (f1s1 + f2s2) N*m = (f1s1 + f2s2) J,
quindi quando tu dai significato al prodotto scalare d'un vettore forza
per un vettore spostamento, lo stesso significato lo dai al prodotto
dei soli versori moltiplicati per il numero (f1s1 + f2s2).

Per i prodotti vettoriali ripeto le stesse considerazioni, dov'e' che
trovi che cadono in difetto?

[Pangloss]

Post by Yoda

Post by Pangloss
Il tuo punto di vista regge fintantoche' consideri solo combinazioni
lineari, ma cade in difetto per prodotti scalari e vettoriali.

F . S = f1 s1 N*m + f2 s2 N*m = (f1s1 + f2s2) N*m = (f1s1 + f2s2) J,
quindi quando tu dai significato al prodotto scalare d'un vettore forza
per un vettore spostamento, lo stesso significato lo dai al prodotto
dei soli versori moltiplicati per il numero (f1s1 + f2s2).
Per i prodotti vettoriali ripeto le stesse considerazioni, dov'e' che
trovi che cadono in difetto?

Nel tuo esempio sintattico le scritture "standard" sono:
F = f1 I + f2 J (1)
S = s1 I + s2 J (2)
F.S = f1 s1 + f2 s2 (3)
Nella (1) la forza F e' espressa come somma di due forze;
nella (2) lo spostamento S e' dato dalla somma di due spostamenti;
nella (3) il lavoro e' somma di due lavori.
Le relazioni fisiche (1)-(2)-(3) sono considerate dimensionalmente
corrette (anche senza aggiungere l'unita' N*m nella (3) come fai tu).

Cosa denota il simbolo I? Come osservato da Fabri, le questioni formali
sono convenzionali, ma (dico io) possono mascherare aspetti intriganti.

Se non fraintendo il tuo punto di vista, tu attribuisci al simbolo I
due significati diversi (nella (1) vettore forza da 1N; nella (2) vettore
spostamento da 1m): gia' questo e' brutto e pericoloso.
Se poi tu diversificassi i simboli dei versori scrivendo I_f ed I_s,
evidenzieresti lo strano fatto che nel prodotto scalare tra grandezze
fisiche i due fattori appartengono a spazi vettoriali matematicamente
diversi, visto che non si possono sommare fra loro forze e spostamenti.
Ciononostante se ne possono confrontare direzioni ed angoli, ossia, per
parlare difficile, il tensore metrico e' condiviso: le componenti di
tale tensore sono appunto i prodotti scalari dei versori I,J,K, prodotti
che dunque _non_ devono dipendere dalla natura fisica delle grandezze
vettoriali coinvolte.

Se invece consideri le componenti f1, s1 ecc. come grandezze fisiche
dimensionate (e non come misure numeriche) il formalismo risulta pulito.
Ho complicato a sufficienza gli affari semplici? ;-)

[Yoda]

Post by Pangloss

Post by Yoda

Post by Pangloss
Il tuo punto di vista regge fintantoche' consideri solo combinazioni
lineari, ma cade in difetto per prodotti scalari e vettoriali.

F . S = f1 s1 N*m + f2 s2 N*m = (f1s1 + f2s2) N*m = (f1s1 + f2s2) J,
quindi quando tu dai significato al prodotto scalare d'un vettore forza
per un vettore spostamento, lo stesso significato lo dai al prodotto
dei soli versori moltiplicati per il numero (f1s1 + f2s2).
Per i prodotti vettoriali ripeto le stesse considerazioni, dov'e' che
trovi che cadono in difetto?

F = f1 I + f2 J (1)
S = s1 I + s2 J (2)
F.S = f1 s1 + f2 s2 (3)
Nella (1) la forza F e' espressa come somma di due forze;
nella (2) lo spostamento S e' dato dalla somma di due spostamenti;
nella (3) il lavoro e' somma di due lavori.
Le relazioni fisiche (1)-(2)-(3) sono considerate dimensionalmente
corrette (anche senza aggiungere l'unita' N*m nella (3) come fai tu).
Cosa denota il simbolo I? Come osservato da Fabri, le questioni formali
sono convenzionali, ma (dico io) possono mascherare aspetti intriganti.

[..........]

Si' ho fatto parecchia confusione, ci pensero' in seguito con calma,
devo riguardare tutto tenendo presente quello che avete detto tu,
Giorgio e Elio, vi ringrazio per la disponibilita'.

[Yoda]

Post by Pangloss

Post by Yoda

Post by Pangloss
Il tuo punto di vista regge fintantoche' consideri solo combinazioni
lineari, ma cade in difetto per prodotti scalari e vettoriali.

F . S = f1 s1 N*m + f2 s2 N*m = (f1s1 + f2s2) N*m = (f1s1 + f2s2) J,
quindi quando tu dai significato al prodotto scalare d'un vettore forza
per un vettore spostamento, lo stesso significato lo dai al prodotto
dei soli versori moltiplicati per il numero (f1s1 + f2s2).
Per i prodotti vettoriali ripeto le stesse considerazioni, dov'e' che
trovi che cadono in difetto?

F = f1 I + f2 J (1)
S = s1 I + s2 J (2)
F.S = f1 s1 + f2 s2 (3)
Nella (1) la forza F e' espressa come somma di due forze;
nella (2) lo spostamento S e' dato dalla somma di due spostamenti;
nella (3) il lavoro e' somma di due lavori.
Le relazioni fisiche (1)-(2)-(3) sono considerate dimensionalmente
corrette (anche senza aggiungere l'unita' N*m nella (3) come fai tu).

Ho riguardato un po' questa questione, tutti i testi sono concordi nel
dire che le coordinate di un vettore dette anche componenti, come gia'
quelle d'un punto, sono numeri. Percio' per l'interpretazione, data da
Giorgio per le sole componenti, da te per queste (1)...(3) intese come
equazioni dimensionali, mi sembra che ci si dovrebbe aggiungere un
qualcosa che non so e che non ho trovato in nessun libro.

Per la geometria analitica invece ho trovato di peggio: dopo aver
definito l'ascissa d'un punto P come misura del segmento OP nella
unita' u prefissata, si definisce la distanza di due punti A e B come
sqrt((x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2), cioe' anche la distanza
viene definita come numero, insomma: un po' come dice Elio.
Un brutto colpo per me, devo ricordare cos'ho, precisamente, sempre
detto a lezione e vedere che senso ha il controllo dimensionale nei
problemi di geometria. Io comunque distanza 3 non l'ho mai vista o
sentita, ho sempre sentito: distanza 3 metri o al piu' distanza 3 u.

Post by Pangloss
Cosa denota il simbolo I? Come osservato da Fabri, le questioni formali
sono convenzionali, ma (dico io) possono mascherare aspetti intriganti.
Se non fraintendo il tuo punto di vista, tu attribuisci al simbolo I
due significati diversi (nella (1) vettore forza da 1N; nella (2) vettore
spostamento da 1m): gia' questo e' brutto e pericoloso.

Si', e' inammissibile farlo esplicitamente per le complicazioni che
comporta, l'ho scritto sbagliando per troppa precipitazione nel
rispondere, non avevo molto tempo nei giorni scorsi, ma un senso e
forse un legame puo' averlo. A favore c'e' che le componenti sono
numeriche e dunque le dimensioni devono averla i vettori della base, di
questo sono piu' che certo. Riprendo il discorso nel seguito.

Post by Pangloss
Se poi tu diversificassi i simboli dei versori scrivendo I_f ed I_s,
evidenzieresti lo strano fatto che nel prodotto scalare tra grandezze
fisiche i due fattori appartengono a spazi vettoriali matematicamente
diversi, visto che non si possono sommare fra loro forze e spostamenti.

Questo non sarebbe un problema, sarebbe solo molto complicato.
La somma (simbolo + cerchiato, ha pure un nome che ora non ricordo) si
puo' fare anche tra due spazi vettoriali addirittura di dimensione
diversa oltre che del tutto diversi: polinomi e velocita' ad esempio.
Tutto questo allo stesso modo del prodotto x cerchiato piu' noto.

Post by Pangloss
Ciononostante se ne possono confrontare direzioni ed angoli, ossia, per
parlare difficile, il tensore metrico e' condiviso: le componenti di
tale tensore sono appunto i prodotti scalari dei versori I,J,K, prodotti
che dunque _non_ devono dipendere dalla natura fisica delle grandezze
vettoriali coinvolte.

Quanto ho appena detto, su somma e prodotto cerchiati di spazi
vettoriali, genera in entrambi i casi un nuovo spazio vettoriale, nel
quale bisognerebbe introdurre una nuova metrica per renderlo euclideo o
al piu' una metrica indotta dai due spazi dati. Comunque son tutte cose
che non c'entrano col discorso in questione.

Post by Pangloss
Se invece consideri le componenti f1, s1 ecc. come grandezze fisiche
dimensionate (e non come misure numeriche) il formalismo risulta pulito.
Ho complicato a sufficienza gli affari semplici? ;-)

Si' e' vero, in pratica e' piu' che OK: e' molto comodo. Pero' non puoi
negare che ci son cose che restano inspiegate, la prima e' che non ho
mai visto scrivere per un punto: (3 m, 2 m) ma sempre (3, 2).

Inoltre penso a un qualche meccanismo di questo tipo:
1) Considero uno spazio vettoriale tridimensionale euclideo astratto E.
2) Considero lo spazio ambiente Oxyz, il solito cartesiano.
3) Un campo di forze F(P), viene dato come funzione vettoriale di
punto (di Oxyz), cioe' la funzione F(P) fa corrispondere ad ogni terna
numerica, che individua P, un preciso vettore forza F_P.
4) Al vettore F_P viene associato il vettore di E che ha le stesse
coordinate numeriche, ma che e' necessariamente astratto, cioe' privo
di dimensioni fisiche, in quanto e' un vettore di E.
5) Lo spazio E /non e'/ lo spazio ambiente, perche' i vettori dello
spazio ambiente hanno le dimensioni di una lunghezza (o almeno cosi'
credo), percio' non puo' essere altro che uno spazio astratto che serve
solo per studiare le grandezze vettoriali (per dirne una: posso avere
il medesimo vettore (1,1,2) di E sia dalla forza sia dallo spostamento
sia da qualsiasi altra cosa).
6) I passi sarebbero pertanto i seguenti:
a) P -> (1,2,0) -> F(1,2,0) -> (3,0,5) come vettore astratto di E;
b) S -> (1,5,2) come vettore astratto di E;
c) F(P) . S -> (I+2J) . (3I+5K) = 13. Adesso dimmi: con quale segreto
meccanismo faccio 13 -> 13 joule?

Aggiungo: e' chiaro che lo spazio ambiente, cho ho chiamato Oxyz,
coincide numericamente con E, quindi si potrebbe anche eliminare; nello
stesso ordine d'idee potrei considerare per ogni grandezza fisica un
suo spazio vettoriale, numericamente coincidente con E e quindi
eliminarlo. Insomma: sono tutti isomorfi, l'unica differenza sarebbe
che i vettori della base hanno dimensioni fisiche in ognuno, tranne E.
Cosa ne pensi? Ho per caso sistemato tutto con quest'aggiunta? Se dici
di si', resta in ogni caso da spiegare la magia del punto 6) c).

P.S. Circa il "molto comodo" che ho detto. Si puo' benissimo parlare e
indicare le dimensioni fisiche come ha fatto Giorgio, perlando pero'
/dei/ componenti: come vettori hanno un modulo con precise dimensioni
fisiche, non sono numeri ma oggetti.

[Pangloss]

Post by Yoda
Ho riguardato un po' questa questione, tutti i testi sono concordi nel
dire che le coordinate di un vettore dette anche componenti, come gia'
quelle d'un punto, sono numeri.

Quali testi?
Le questioni dimensionali sono connesse alla definizione operativa delle
grandezze fisiche ed alla logica delle formule fisiche.
L'argomento e' assolutamente OT sui libri di matematica ed e' trattato in
modo superficiale dalla maggioranza dei corsi di fisica.

Post by Yoda
..... A favore c'e' che le componenti sono
numeriche e dunque le dimensioni devono averla i vettori della base, di
questo sono piu' che certo.

La tua _scelta_ di interpretare le formule fisiche vettoriali in questo
modo e' legittima, ma di certo non e' necessaria ne' opportuna: se il
tensore metrico non fosse considerato adimensionale, i testi di fisica
teorica in circolazione sarebbero zeppi di errori dimensionali.

Post by Yoda
...(cut)

Il seguito del tuo post e' troppo tortuoso ed oscuro per me. :-(

[Yoda]

Post by Pangloss

Post by Yoda
...(cut)

Il seguito del tuo post e' troppo tortuoso ed oscuro per me. :-(

Si' e dev'essere anche scorretto, ho fatto solo un tentativo, devo
rinunciare a dare un senso alla formula di W. Rindler per la quale ho
iniziato il thread, e' per forza di cose scorretta, la riporto per
completezza e per terminare, grazie ancora.

x = c Int[senh T dT], integrale definito tra 0 e T.

[Yoda]

Post by Pangloss

Post by Yoda
Ho riguardato un po' questa questione, tutti i testi sono concordi nel
dire che le coordinate di un vettore dette anche componenti, come gia'
quelle d'un punto, sono numeri.

Quali testi?
Le questioni dimensionali sono connesse alla definizione operativa delle
grandezze fisiche ed alla logica delle formule fisiche.
L'argomento e' assolutamente OT sui libri di matematica ed e' trattato in
modo superficiale dalla maggioranza dei corsi di fisica.

Post by Yoda
..... A favore c'e' che le componenti sono
numeriche e dunque le dimensioni devono averla i vettori della base, di
questo sono piu' che certo.

La tua _scelta_ di interpretare le formule fisiche vettoriali in questo
modo e' legittima, ma di certo non e' necessaria ne' opportuna: se il
tensore metrico non fosse considerato adimensionale, i testi di fisica
teorica in circolazione sarebbero zeppi di errori dimensionali.

Post by Yoda
...(cut)

Il seguito del tuo post e' troppo tortuoso ed oscuro per me. :-(

Peccato che non son riuscito a scrivere piu' chiaramente, pero' guarda
che non avevo piu' detto che il tensore metrico non e' adimensionale,
dopo che tu me l'avevi fatto notare nel post precedente.
Tortuosamente ho detto questo, che ora riassumo meno oscuramente :-)
spero, o almeno piu' brevemente che e' la cosa piu' importante nei NG.

Dati: (F con dimensioni) scalar (S con dimensioni), si procede cosi':
1) F = f^i C_i newton, con: (f^i) terna numerica, {C_i} base
adimensionale di E, E spazio astratto euclideo con tensore metrico
adimensionale, f^i C_i e' percio' il vettore astratto corrispondente al
vettore forza F.
2) Idem per il vettore spostamento S.
3) F.S = (newton f^i C_i).(metri s^i C_i) = (f1s1 + f2s2 + f3s3) joule.

Grazie in anticipo se mi fai sapere qualcosa.

[Pangloss]

Post by Yoda
Peccato che non son riuscito a scrivere piu' chiaramente, pero' guarda
che non avevo piu' detto che il tensore metrico non e' adimensionale,
dopo che tu me l'avevi fatto notare nel post precedente.

OK, prendo atto che ora consideri adimensionali i versori base (e quindi
anche il tensore metrico).

Post by Yoda
1) F = f^i C_i newton, con: (f^i) terna numerica, {C_i} base
adimensionale di E, E spazio astratto euclideo con tensore metrico
adimensionale, f^i C_i e' percio' il vettore astratto corrispondente al
vettore forza F.
2) Idem per il vettore spostamento S.
3) F.S = (newton f^i C_i).(metri s^i C_i) = (f1s1 + f2s2 + f3s3) joule.
Grazie in anticipo se mi fai sapere qualcosa.

Sento odore di aria fritta... Se vuoi parlare di un vettore adimensionale
"astratto" corrispondente ad un vettore forza F (concreto?!) fai pure...
Prescindendo dal carattere scalare-vettoriale-tensoriale delle grandezze
fisiche, io mi limiterei a notare che l'adozione di un sistema di unita'
di misura coerenti determina un isomorfismo fra l'algebra delle grandezze
e l'algebra delle misure numeriche.

[Yoda]

[.................]

[.............]

Post by Pangloss
Se invece consideri le componenti f1, s1 ecc. come grandezze fisiche
dimensionate (e non come misure numeriche) il formalismo risulta pulito.
Ho complicato a sufficienza gli affari semplici? ;-)

Confermo il mio punto di vista: le componenti sono numeri, cioe' sono
adimensionali, la dimensione fisica ce l'hanno i versori della base.
Questo contro il punto di vista tuo e di Giorgio B.
Viene insegnato, come finalmente ho trovato per caso oggi, all'uni di
Milano e viene detto in modo esplicito.

[Giorgio Bibbiani]

Post by Yoda

Post by Pangloss
Se invece consideri le componenti f1, s1 ecc. come grandezze fisiche
dimensionate (e non come misure numeriche) il formalismo risulta
pulito. Ho complicato a sufficienza gli affari semplici? ;-)

Confermo il mio punto di vista: le componenti sono numeri, cioe' sono
adimensionali, la dimensione fisica ce l'hanno i versori della base.
Questo contro il punto di vista tuo e di Giorgio B.

Troppo onore ;-), veramente non si tratta di punti di vista,
che le componenti di un vettore abbiano le stesse dimensioni
fisiche del vettore e' una convenzione largamente accettata,
basta per verificarlo sfogliare un *qualsiasi* attuale manuale
di fisica...

Post by Yoda
Viene insegnato, come finalmente ho trovato per caso oggi, all'uni di
Milano e viene detto in modo esplicito.

Una rondine non fa primavera...

Ciao

[Yoda]

Post by Giorgio Bibbiani

Post by Yoda

Post by Pangloss
Se invece consideri le componenti f1, s1 ecc. come grandezze fisiche
dimensionate (e non come misure numeriche) il formalismo risulta
pulito. Ho complicato a sufficienza gli affari semplici? ;-)

Confermo il mio punto di vista: le componenti sono numeri, cioe' sono
adimensionali, la dimensione fisica ce l'hanno i versori della base.
Questo contro il punto di vista tuo e di Giorgio B.

Troppo onore ;-), veramente non si tratta di punti di vista,
che le componenti di un vettore abbiano le stesse dimensioni
fisiche del vettore e' una convenzione largamente accettata,
basta per verificarlo sfogliare un *qualsiasi* attuale manuale
di fisica...

Le tue affermazioni devono essere convalidate, indica qualcuno di
questi manuali. Con "Attuale" cosa vuoi dire? dal 2009 in poi, vedi
dopo?

Post by Giorgio Bibbiani

Post by Yoda
Viene insegnato, come finalmente ho trovato per caso oggi, all'uni di
Milano e viene detto in modo esplicito.

Una rondine non fa primavera...

Aspetto le tue rondini, la mia consiste nelle dispense dei proff.
Andrea Carati, ancora in servizio, e Luigi Galgani, in pensione ma
conosciutissimo; sono dell'a.a. 2007-2008, "Appunti di mecanica
razionale".

[Giorgio Bibbiani]

Post by Yoda
Le tue affermazioni devono essere convalidate, indica qualcuno di
questi manuali.

Ad es. il Feynman, eq. (9.7), pero' non ho voglia di
mettermi a sfogliare manuali, che del resto non ho
neanche magari sottomano...

Post by Yoda
Con "Attuale" cosa vuoi dire? dal 2009 in poi, vedi
dopo?

Attualmente in commercio, o attualmente utilizzato nella pratica
didattica.

Post by Yoda
Aspetto le tue rondini, la mia consiste nelle dispense dei proff.
Andrea Carati, ancora in servizio, e Luigi Galgani, in pensione ma
conosciutissimo; sono dell'a.a. 2007-2008, "Appunti di mecanica
razionale".

Ma, solo per curiosita' (perche' ribadisco che una rondine non
fa primavera ;-), hai un riferimento puntuale? Ad es. qui Galgani
utilizza la convenzione, che come dicevo e' largamente condivisa,
per cui i versori degli assi sono adimensionali, v. p.22 di:

http://www.mat.unimi.it/users/galgani/MecRaz%201/lagrange.pdf

Se ti fidi ;-) di Wiki inglese, v. anche:

http://en.wikipedia.org/wiki/Versor#Definition_in_linear_algebra.2C_geometry.2C_and_physics

Ciao

[Yoda]

Post by Giorgio Bibbiani

Post by Yoda
Le tue affermazioni devono essere convalidate, indica qualcuno di
questi manuali.

Ad es. il Feynman, eq. (9.7), pero' non ho voglia di
mettermi a sfogliare manuali, che del resto non ho
neanche magari sottomano...

Questo che citi di Feynman non c'entra nulla, comunque ho ripreso il
discorso solo perche' m'e' capitato per caso di leggere quel che dice
il Galgani, ma anch'io non ho voglia di mettermi a fare altre ricerche.

Post by Giorgio Bibbiani

Post by Yoda
Con "Attuale" cosa vuoi dire? dal 2009 in poi, vedi dopo?

Attualmente in commercio, o attualmente utilizzato nella pratica
didattica.

Allora la mia rondine e' attuale: sono dispense tutt'ora utilizzate.

Post by Giorgio Bibbiani

Post by Yoda
Aspetto le tue rondini, la mia consiste nelle dispense dei proff.
Andrea Carati, ancora in servizio, e Luigi Galgani, in pensione ma
conosciutissimo; sono dell'a.a. 2007-2008, "Appunti di mecanica
razionale".

Ma, solo per curiosita' (perche' ribadisco che una rondine non
fa primavera ;-), hai un riferimento puntuale? Ad es. qui Galgani
utilizza la convenzione, che come dicevo e' largamente condivisa,
http://www.mat.unimi.it/users/galgani/MecRaz%201/lagrange.pdf

Non c'entra, come non c'entra Feynman. Ma ti pare mai possibile che gli
stessi autori scrivano cose in contraddizione da un capitolo all'altro?

Post by Giorgio Bibbiani
http://en.wikipedia.org/wiki/Versor#Definition_in_linear_
algebra.2C_geometry.2C_and_physics

Sempre la stessa cosa, comunque mi fido molto poco della wiki inglese,
ne' piu' ne' meno di quella iataliana. Ciao, termino qui come dici tu.

[Giorgio Bibbiani]

Post by Yoda

Post by Giorgio Bibbiani

Post by Giorgio Bibbiani
Ad es. il Feynman, eq. (9.7), pero' non ho voglia di

mettermi a sfogliare manuali, che del resto non ho
neanche magari sottomano...

Questo che citi di Feynman non c'entra nulla,

C'entra, Feynman scrive:
F_x = m a_x,
quindi e' evidente che la componente F_x della forza ha
dimensioni fisiche, oppure anche la massa sarebbe
adimensionale?!
Del resto vorrei vedere in quale manuale di fisica per F_x
si intenda una grandezza adimensionale...

Post by Yoda

Post by Giorgio Bibbiani
Ma, solo per curiosita' (perche' ribadisco che una rondine non
fa primavera ;-), hai un riferimento puntuale? Ad es. qui Galgani
utilizza la convenzione, che come dicevo e' largamente condivisa,
http://www.mat.unimi.it/users/galgani/MecRaz%201/lagrange.pdf

Non c'entra, come non c'entra Feynman. Ma ti pare mai possibile che
gli stessi autori scrivano cose in contraddizione da un capitolo
all'altro?

C'entra eccome, li' Galgani scrive chiaramente che il versore
avente la direzione del vettore x e' x / sqrt(x dot x), che e'
evidentemente adimensionale...

Post by Yoda
Sempre la stessa cosa,

Verissimo, e' sempre la stessa cosa, infatti anche li' i versori
sono definiti come grandezze adimensionali...

Ciao

[Yoda]

Post by Giorgio Bibbiani
Ma, solo per curiosita' (perche' ribadisco che una rondine non
fa primavera ;-), hai un riferimento puntuale? Ad es. qui Galgani
utilizza la convenzione, che come dicevo e' largamente condivisa,
http://www.mat.unimi.it/users/galgani/MecRaz%201/lagrange.pdf

Scusa ho dimenticato la richiesta cioe' la curiosita', ecco: stesso
link, stesse dispense di meccanica come gia' detto, ma Cap. VI;
par. 6.1: "Contravarianza: ..."; cioe' il file "tensori.pdf".
(Infatti stavo cercando se c'era qcs sui rotori)

[Giorgio Bibbiani]

Post by Yoda
Scusa ho dimenticato la richiesta cioe' la curiosita', ecco: stesso
link, stesse dispense di meccanica come gia' detto, ma Cap. VI;
par. 6.1: "Contravarianza: ..."; cioe' il file "tensori.pdf".

Alla buonora! ;-) Infatti li' Galgani fa un discorso sui vettori
puramente matematico, non nomina neanche le dimensioni
fisiche, e scrive correttamente che un vettore ad es. di R^n
si puo' ottenere come combinazione lineare a coefficienti
reali dei vettori di una fissata arbitraria base di R^n, e niente
di quanto scrive e' in contrasto con la convenzione generalmente
accettata che le componenti di una *grandezza fisica* vettoriale
abbiano le stesse dimensioni fisiche della grandezza, e che
i versori degli assi debbano essere adimensionali.

Ciao

[Yoda]

Post by Giorgio Bibbiani

Post by Yoda
Scusa ho dimenticato la richiesta cioe' la curiosita', ecco: stesso
link, stesse dispense di meccanica come gia' detto, ma Cap. VI;
par. 6.1: "Contravarianza: ..."; cioe' il file "tensori.pdf".

Alla buonora! ;-) Infatti li' Galgani fa un discorso sui vettori
puramente matematico, non nomina neanche le dimensioni
fisiche, e scrive correttamente che un vettore ad es. di R^n
si puo' ottenere come combinazione lineare a coefficienti
reali dei vettori di una fissata arbitraria base di R^n, e niente
di quanto scrive e' in contrasto con la convenzione generalmente
accettata che le componenti di una *grandezza fisica* vettoriale
abbiano le stesse dimensioni fisiche della grandezza, e che
i versori degli assi debbano essere adimensionali.

Si', in effetti si puo' interpretare anche come dici tu, cioe' solo
come un esempio-analogia col modo di variare della misura al variare
dell'unita' scelta, infatti lo dice per spiegare la "Contravarianza",
mi sa che m'hai convinto.

Anzi, tu dici che e' l'unica sistemazione possibile per questa
questione, quindi in definitiva - che e' quello che m'interessa - anche
in geometria analitica a rigore dovrei scrivere:
OP = v = 3 metri i + 2 metri j - 1 metro k <==> (3m, 2m, -1m)
e non:
OP = v = 3i + 2j - k <==> (3, 2, -1),
anche se nessuno lo fa, o almeno io non l'ho mai visto.

[Giorgio Bibbiani]

Post by Yoda
OP = v = 3 metri i + 2 metri j - 1 metro k <==> (3m, 2m, -1m)
OP = v = 3i + 2j - k <==> (3, 2, -1),

Un conto e' un vettore come ente matematico, che non ha
dimensioni fisiche, un altro conto e' una grandezza fisica
vettoriale che avra' dimensioni fisiche.

Post by Yoda
anche se nessuno lo fa, o almeno io non l'ho mai visto.

Infatti, e giustamente...;-)

Ciao

[Pangloss]

Post by Yoda

Post by Yoda
...(cut)

....
mi sa che m'hai convinto.

Meno male, mi congratulo con G.Bibbiani. ;-)
In questo thread non si tratta di appellarsi all'autorevolezza di Feynman
o di Galgani; neppure si tratta di scegliere una convenzione a piacere.

Il vero problema e' quello di interpretare in modo logico il formalismo
algebrico effettivamente in uso. E' facile convincersi che se il tensore
metrico non fosse considerato adimensionale, tutte le consuete relazioni
tensoriali sarebbero dimensionalmente errate e potrebbero essere scritte
solo declassandole dal rango privilegiato di formule tra grandezze al
rango meno nobile di formule numeriche tra misure.

In parole povere, le incongruenze saltano fuori con il prodotto scalare.
Ad es. se una forza F in base ortogonale e' scritta nella forma analitica
F = Fx i + Fy j + Fz k
tutto va bene purche' la terna ortogonale (i,j,k) sia adimensionale.
Se invece i versori base (i,j,k) fossero intesi come campioni di forza e
quindi le componenti Fx,Fy,Fz come misure, gia' solo la consueta formula
di proiezione ortogonale F.i = Fx risulterebbe dimensionalmente errata.

[Yoda]

Post by Pangloss

Post by Yoda

Post by Yoda
...(cut)

....
mi sa che m'hai convinto.

Meno male, mi congratulo con G.Bibbiani. ;-)
In questo thread non si tratta di appellarsi all'autorevolezza di Feynman
o di Galgani; neppure si tratta di scegliere una convenzione a piacere.

Non era all'autorita', ma all'uso, come lo scegliere una convenzione a
piacere: possibile ma fortemente sconsigliabile, si finirebbe col
parlare da soli.

Post by Pangloss
Il vero problema e' quello di interpretare in modo logico il formalismo
algebrico effettivamente in uso. E' facile convincersi che se il tensore
metrico non fosse considerato adimensionale, tutte le consuete relazioni
tensoriali sarebbero dimensionalmente errate e potrebbero essere scritte
solo declassandole dal rango privilegiato di formule tra grandezze al
rango meno nobile di formule numeriche tra misure.

Si' ma sai io sono precisino e avevo cominciato col notare che il
Rindler metteva ad argomento di senh grandezze non adimensionali, poi
e' subentrato il fatto che in geometria analitica le coordinate son
numeri puri, perche' definite dal rapporto di due lunghezze.

Post by Pangloss
In parole povere, le incongruenze saltano fuori con il prodotto scalare.
Ad es. se una forza F in base ortogonale e' scritta nella forma analitica
F = Fx i + Fy j + Fz k
tutto va bene purche' la terna ortogonale (i,j,k) sia adimensionale.
Se invece i versori base (i,j,k) fossero intesi come campioni di forza e
quindi le componenti Fx,Fy,Fz come misure, gia' solo la consueta formula
di proiezione ortogonale F.i = Fx risulterebbe dimensionalmente errata.

Ma no, te l'avevo mostrato un modo per sistemare tutto: dallo spazio
vettoriale con base di dimensioni d'una forza passi ai vettori
corrispondenti dello spazio vettoriale astratto, idem per il vettore
spostamento; poi nello spazio astratto fai le operazioni. Tu avevi
concluso con "Sento odore d'aria fritta", ed infatti e' proprio la
stessa cosa, solo che si evita l'assurdita' che dicevo: di passare da
uno spazio vettoriale all'altro.
Dimensioni fisiche e loro unita' di misura vengono definite e scelte
fuori spazio vettoriale: sia per gli operandi, sia per il risultato,
che son tutti numerici e basta. Idem con geometria analitica, come m'ha
anche confermato Giorgio se non ho capito male.

[Pangloss]

Non era all'autorita' ....

Ho parlato di "autorevolezza", non di "autorita'", e' ben diverso!

Si' ma sai io sono precisino e avevo cominciato col notare che il
Rindler metteva ad argomento di senh grandezze non adimensionali, poi
e' subentrato il fatto che in geometria analitica le coordinate son
numeri puri, perche' definite dal rapporto di due lunghezze.

Anch'io sono precisino e non sto improvvisando, come puoi vedere qui:

http://pangloss.ilbello.com/Fisica/Metrologia/grf.pdf

Ma no, te l'avevo mostrato un modo per sistemare tutto: dallo spazio
vettoriale con base di dimensioni d'una forza passi ai vettori
corrispondenti dello spazio vettoriale astratto, idem per il vettore
spostamento; poi nello spazio astratto fai le operazioni. Tu avevi
concluso con "Sento odore d'aria fritta", ed infatti e' proprio la
stessa cosa, solo che si evita l'assurdita' che dicevo: di passare da
uno spazio vettoriale all'altro.
Dimensioni fisiche e loro unita' di misura vengono definite e scelte
fuori spazio vettoriale: sia per gli operandi, sia per il risultato,
che son tutti numerici e basta. Idem con geometria analitica, come m'ha
anche confermato Giorgio se non ho capito male.

Quello che proponi rientra nella corrispondenza tra "sistema formale
algebrico" e "sistema formale numerico conforme" che tratto nel Cap.3.
BTW, la monografia citata e' una ricerca logica che considero notevole
ed interessante anche per altri motivi.

[Elio Fabri]

Post by Yoda
In un post sulla relativita', di stamani qui su fisf, ho trovato un
cenno ai moti cosiddetti iperbolici, nei quali spesso si usano le
funzioni iperboliche: seno, coseno e tangente iperbolici, che qui nei
NG penso convenga indicare con la maiuscola: Sh(t), Ch(t), Th(t).

Cominciamo col dire che la notazione unviersale per le funzioni
iperboliche è sinh, cosh, tanh.

Post by Yoda
Se siamo in matematica t e' una variabile numerica, cioe' un parametro
adimensionale, ma in fisica t ha le dimensioni di un tempo.
La mia domanda e': come ci si comporta con un tempo ad esponente?

Semplice: un tempo ad argomento *non deve presentarsi*.

Post by Yoda
A me non risulta, l'argomento di una funzione iperbolica *deve*
essere adimensionale, sia in matematica che in fisica,

Mi permetto di correggerti.
Sulla fisica siamo d'accordo, ma i matematici ignorano assolutamente
l'argomento dimensioni (che non a caso si chiamano _dimensioni
fisiche_).
Con conseguenze ed equivoci sgradevoli, spec. per gli studenti, che nn
sanno che pesci pigliare...

Post by Yoda
Come gia' detto da G.Bibbiani l'argomento deve essere _adimensionale_,
almeno se si intende scrivere una formula tra grandezze fisiche e non
solo una contingente relazioncina tra misure.
1.22 Quantity equation
1.25 Numerical value equation

Certo.
Non è sempre stato così, ma ormai da anni esiste una regola alla quale
i fisici sono tenuti a conformarsi, quanto al modo di scrivere le
equazioni tra grandezze fisiche.
Essendo chiaro che si tratta di una _convenzione_ e se ne potrebbero
sostenere altre, ma se si vuole evitare il caos è meglio risoettare
simili regole anche quando possa acadere di non condividerle

Post by Yoda
Peccato che io non possa condividere l'identificazione tra grandezze
adimensionali e numeri (dichiarata dal BIPM e comunemente accettata).

Sì, la cosa non mi giunge nuova, e credo che ne abbiamo già discusso n
passato, am non ricordo altro.

Quanto al motivo per cui l'argomento (e il risultato) di una funzine
trascendente deve essere adimensionale (che per me è lo stesso che
numero puro) la spiegherei così.
Se voglio calcolare poniamo cos(X), dove X sta per un'espressione
contenente grandezze fisiche, se X non fosse adimensionale un
cambiamento di unità di misura (sempre possibile) modificherebbe il
valore numerico dell'argomento, e quindi l'equazione in cui compare
quel coseno non potrebbe risultare valida a prescindere dalle unità
adottate.

Post by Yoda
Un momento, chiariamo prima questo punto.
Quando in geometria piana scrivo A=(1, 2), e' giusto o sbagliato?
Perche' si scrive anche, e indifferentemente, A=(x, y).

Prima bisogna chiarire il significato della scrittura A = (1,2).
In astratto può significare che A è il nome che dai alla coppia
ordinata di reali (1,2), ossia che A è un elemento del prodotto
cartesiano RxR.
Mi puoi dire che no, il significato è un altro: che al punto A del
piano euclideo faccio corrispondere (avendo fissato un sistema di
coordinate) la coppia (1,2), o in generale (x,y), dove 1,2,x,y, sono
numeri.
Ma è lo stesso: il piano euclideo della matematica è *astratto*: non
ha unità di misura, non si misura in metri o in centimetri.
Poi accade che di quel piano dai una rappresentazione grafica su un
foglio, che è un oggetto concreto, fisico: allora devi stabilire una
*scala*, ossia dire che l'unità la rappresenti poniamo con 2cm, ecc.

In fisica invece lavori all'inverso: prima hai l'oggetto concreto, che
può essere un tavolo o quello che vuoi.
Su questo oggetto fai misure, ossia definisci delle grandezze
(larghezza, lunghezza) che hanno la dimensione di una lunghezza e
verranno misurate con unità di lunghezza, quindi la misura verrà sempre
scritta mediante un numero accompagnato da un'unità di misura.
Potrai quindi scrivere

L = 45 cm = 0.45 m = ...

L è sempre la stessa grandezza fisica, e viene espressa con diverse
unità /ad libitum/.

Se fai un disegno del tavolo, dovrai indicare la scala, che in questo
caso potrà essere semplicemente un rapporto (es. scala 1:10).
Ma se fai il grafico di una relazione fisica diversa, per es. una
trasformazione termodinamica nel piano (P,V), il grafico dovrà
indicare le scale adottate per le due grandezze: o scrivendole a parte
(volumi, 1 cm = 1 m^3; pressioni, 1 cm = 1 kPa) oppure, più
frequentemente, indicandole con una scala graduata sui due assi.
In ogni caso qui non hai mai soltanto numeri: hai l'_oggetto reale_ che
ha grandezze misurate con loro proprie unità, e hai la sua _rappr._
_grafica_, in cui le stesse grandezze vengono rappresentate come
lunghezze con dati rapporti di scala.

Tornando all'esempio del moto iperbolico: ecco come lo trovi scritto
nei miei appunti
http://www.df.unipi.it/~fabri/sagredo/irg/irg04.pdf
(eq. 4-11):

x = \eta \cosh(\tau/\eta)
t = \eta \sinh(\tau/\eta).

Qui sto usando c=1; \tau è il tempo proprio del punto mobile, \eta
l'inverso della sua accel. propria.
\tau e \eta hanno le stesse dimensioni.

[cometa_luminosa]

Post by Yoda
In un post sulla relativita', di stamani qui su fisf, ho trovato un
cenno ai moti cosiddetti iperbolici, nei quali spesso si usano le
funzioni iperboliche: seno, coseno e tangente iperbolici, che qui nei
NG penso convenga indicare con la maiuscola: Sh(t), Ch(t), Th(t).
Se siamo in matematica t e' una variabile numerica, cioe' un parametro
adimensionale, ma in fisica t ha le dimensioni di un tempo.
La mia domanda e': come ci si comporta con un tempo ad esponente?
Ch(t) -> 1/omega Ch(omega t), con omega costante unitaria delle
dimensioni dell'inverso di un tempo. Si puo' evitare tutto cio'?

Sh(t/t0), Ch(t/t0), Th(t/t0) ecc.

dove t0 e' un intervallo di tempo di riferimento, ad es. 1 s.

--
cometa_luminosa