Scusate il ritardo...
... Quando annaffi il giardino con l'estremita' del tubo di gomma
aperto, la portata d'acqua (i litri che butti sull'erba in un
minuto) dipendono da due fattori: il dislivello fra il pelo libero
del serbatoio e l'apertura del tubo, e l'attrito totale di TUTTE le
tubature fra serbatoio e apertura (tubo di gomma incluso). Quando
strozzi l'apertura, aumenti un po' l'attrito negli ultimi
centimetri del tubo, ma si tratta di ben poca cosa rispetto
all'attrito complessivo: la portata diminuisce di poco, rimane
praticamente costante, e quindi in un minuto la stessa quantita'
d'acqua deve passare da un'apertura piu' piccola; e lo fa,
ovviamente, a velocita' maggiore.
In sostanza si ha una perdita di pressione lungo la tubatura che
aumenta con la portata e alla bocca la pressione efficace per
schizzare fuori l'acqua è poca.
Se con un ugello (o col dito) si restringe la sezione e diminuisce
la portata la caduta di pressione lungo il tubo è minore e quindi
c'è più pressione disponibile per lo schizzo.
Si potrebbe provare a mettere un manometro poco prima
dell'ugello/dito e vedere come varia la pressione.
Purtroppo un manometro non ce l'ho, ma anche se l'avessi sarebbe
difficile metterlo in comunicazione con l'interno di un tubo di gomma
:-) la pressione l'ho dovuta ricavare con misure indirette.
Ho fatto qualche esperimento misurando velocita' d'uscita e portata, e
confermo quanto ho scritto sopra: riducendo gradualmente la sezione
d'uscita di un tubo, per un lungo intervallo la portata varia di
pochissimo, e quindi in prima approssimazione si puo' considerare la
velocita' inversamente proporzionale alla sezione.
Questo NON contraddice quanto affermi tu, che subito prima del
restringimento la pressione aumenta: l'aumento c'e', e raggiunge valori
anche notevoli, ma inizialmente ha pochissimo effetto sulla portata.
La curva "portata in funzione della sezione" che calcolo alla fine,
<http://www.terra32.it/trusso/serbatoi/MisurePortata/plotSezionePortata>
con la sezione che va da 1 a 0, inizialmente decresce con una pendenza
piccolissima; in corrispondenza della sezione ~ 0,5 presenta un
ginocchio, e precipita a zero, ovviamente, quando la sezione diventa
zero (curva verde). Se la sezione non viene ridotta in corrispondenza
della bocca ma a meta' del tubo (simulando un rubinetto) il ginocchio si
ha un po' prima (curva rossa): ma in questo caso entrano in gioco altri
fenomeni (di turbolenza?).
Passo alla descrizione degli esperimenti e delle misure.
Per cominciare, ho tolto dal tubo da giardiniere (circa 10 m) la pistola
a spruzzo finale, lasciando il taglio netto con apertura pari al
diametro interno del tubo (16 mm, per una sezione S di 2 cm^2, mentre
l'esterno e' sui 17,5 mm: come quello di michele, si tratta di
attrezzature standard) e ho aperto il rubinetto nel garage al massimo,
per poter riprodurre facilmente le stesse condizioni.
Tenendo l'estremita' del tubo circa a 45 gradi, ho iniziato a comprimere
il tubo fra pollice e indice A UN METRO CIRCA dall'estremita', tenendo
d'occhio il punto piu' alto del getto. Per una notevole escursione della
compressione (nel seguito "posizioni 1") la massima altezza del getto (e
quindi la velocita' d'uscita, e quindi la portata) e' rimasta
praticamente costante. A un certo punto ("posizione 2") e' diminuita, di
poco, ma visibilmente. Aumentando ancora la strozzatura, altezza (e
quindi portata) diminuivano drasticamente, ma - fatto interessante -
sotto le dita percepivo forti vibrazioni. Ritenevo fosse segno
inequivocabile che il flusso laminare era diventato turbolento, ma forse
la spiegazione e' un'altra (ne perlo oltre).
Strozzando invece il tubo all'estremita', non ero ovviamente in grado di
determinare la portata dall'altezza del getto - che aumentava con la
pressione esercitata dalle dita, fino a qualche metro - ma non
percepivo vibrazioni: il flusso si manteneva laminare.
A questo punto mi sono attrezzato per poter fare delle misure
quantitative. Prima di tutto ho fissato il tubo a un cavalletto:
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(il bastoncino, come si puo' vedere dalla bolla della livella, era
inclinato esattamente di 45 gradi, ma il getto in realta' partiva con
un'inclinazione minore di qualche grado, come si puo' vedere qui:
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le differenze nei calcoli non risultano sostanziali, e comunque durante
le prove di strozzamento l'operatore che teneva la pinza si preoccupava
di riportare il getto parallelo al bastoncino.)
Per poter riportare la stessa strozzatura sull'estremita' del tubo e a 1
metro di distanza, ho fatto uso di una pinza autobloccante come questa:
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che si mantiene a scatto in posizione di chiusura, e in cui la distanza
fra le ganasce in posizione chiusa si puo' regolare con la vite
micrometrica. Ho usato tre regolazioni:
per una delle "posizioni 1" - 11 mm
posizione 2 - 6 mm
posizione 3 - 2,5 mm
L'altezza del'"ugello" risultava di 102 cm.
*Strozzando il tubo a 1 m dall'apertura* (e alla stessa altezza dal
suolo dell'apertura), l'altezza massima del getto e' risultata, misurata
con rotella metrica:
a tubo libero: 141 cm (delta h 39 cm)
in pos. 1: 140 cm (delta h 38 cm)
in pos. 2: 139 cm (delta h 37 cm)
in pos. 3: 126 cm (delta h 24 cm)
dal delta h si puo' ricavare la componente verticale v_z della velocita'
d'uscita usando la vz_^2/2 = gh, il modulo della velocita' d'uscita con
la v=v_z/cos(45), e quindi la portata Q=v*S, dove S e' la sezione del
tubo. Fatti i calcoli nel Sistema Internazionale e convertiti i
risultati in litri, risulta:
a tubo libero: 0,78 litri/s (10,25 s per 8 litri)
in pos. 1: 0,77 litri/s (10,4 s per 8 litri)
in pos. 2: 0,76 litri/s (10,5 s per 8 litri)
in pos. 3: 0,61 litri/s (13 s per 8 litri)
Le note in parentesi sono dovute al fatto che per la misura DIRETTA
della portata ho usato, come suggerito da ADPUF, un secchio da appunto 8
Si potrebbe anche misurare il tempo impiegato per riempire un
secchio con e senza dito: misura della portata.
Eh, sembra facile... :-)
Per raccogliere tutta l'acqua nel secchio, ho semplicemente ruotato il
supporto del tubo sul cavalletto di 90 gradi in avanti, in modo che il
tubo puntasse verso il basso (l'altezza della bocchetta diminuisce di
qualche centimetro, ma non e' che influisca molto sulla misura - i
problemi sono ben altri :-) ). I risultati:
a tubo libero: 10 s
in pos. 1: 10 s
in pos. 2: 11 s
in pos. 3: 14 s
il che dimostra che le misure di riempimento di un secchio che ho fatto
erano piuttosto difficili: l'accuratezza della misura cronometrica fra
"vai!" e "stop!" e' di 1/10 di secondo, ma la difficolta' di capire
esattamente quando il secchio sia pieno con l'acqua che vi si precipita
fra mille turbolenze aggiunge un errore anche superiore a un secondo,
per cui non mi azzardo a riportare i decimi.
*Strozzando il tubo in corrispondenza dell'estremita' tagliata* le cose
peggiorano ulteriormente.
Le altezze del getto con le strozzature sull'estremita' sono risultate:
a tubo libero: 141 cm (delta h 39 cm)
in pos. 1: 160 cm (delta h 58 cm)
in pos. 2: 210 cm (delta h 108 cm)
in pos. 3: ~ 400 cm (delta h ~ 300 cm)
(L'altezza di 4 metri l'ho misurata ad occhio, ed e' corroborata dal
fatto che il getto bagnava il terreno a una quindicina di metri di
distanza.)
Le velocita' d'uscita corrispondenti risultano:
a tubo libero: 3,9 m/s
in pos. 1: 4,8 m/s
in pos. 2: 6,5 m/s
in pos. 3: 10,8 m/s
10,8 m/s sono 38 km/h. Le misure in posizione 2 e 3 erano
interessantissime, ma all'inizio non c'e' stato verso di riuscire a far
entrare l'acqua nel secchio piuttosto che schizzare tutt'intorno e
addosso agli operatori (ma, come dicevo, faceva ben caldo e la cosa non
e' dispiaciuta piu' di tanto :-) ). .)
Ho risolto (quasi) mettendo sul fondo del secchio uno straccio
arrotolato a imbuto rovesciato, e mirando all'imboccatura.
Le misure di portata hanno dato, per il riempimento del secchio da 8 litri,
a tubo libero: 10 s (piu' o meno)
in pos. 1: 10 s (piu' o meno)
in pos. 2: 10 s (forse 11...)
in pos. 3: 12 (con le difficolta' dette).
Con i dati sin qui ricavati, possiamo calcolare quale fosse la sezione
del tubo strozzato con la pinza nelle varie posizioni. Dividendo la
portata per la velocita' d'uscita si ottiene:
a tubo libero: 2,05 cm^2
in pos. 1: 1,7
in pos. 2: 1,23
in pos. 3: 0,61
I conti tornano: partendo dalla misura diretta della portata e indiretta
della velocita', si ritrova, nel caso del tubo libero, la sezione di 2
cm^2 con un errore del 2,5%. Il che non ha molto significato, dato che
la portata e' stata misurata con un'incertezza almeno del 10% :-) , ma
dimostra almeno che gli ordini di grandezza delle misure e i calcoli
non erano affetti da errori grossolani.
Sono ora in grado di plottare la curva "portata in funzione della
strozzatura", nei due casi di strozzatura alla bocca e a meta' del tubo:
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in rosso le misure ottenute strozzando il tubo a 1 m dall'apertura, in
verde quelle ottenute strozzando l'apertura.
- o -
Si possono fare ora alcune considerazioni sulle pressioni. Faccio
l'ipotesi, abbastanza ragionevole, che nelle tre diverse posizioni della
pinza autobloccante le sezioni della strozzatura fossero le stesse, sia
che la strozzatura fosse in corrispondenza dell'apertura finale, sia che
fosse a 1 m di distanza.
I due casi sono molto diversi, perche' nel caso della strozzatura "in
mezzo al tubo" la pressione atmosferica si ritrovava nel liquido che
scorreva (alla fine del tubo) in una luce di sezione 2 cm^2; dato che la
differenza di carico lungo 1 m di tubo a sezione costante e' del tutto
trascurabile (vedi i calcoli che ha fatto Elio Fabri), DENTRO la
strozzatura la velocita' risultava maggiore e quindi la pressione
INFERIORE; al contrario, nel caso di strozzatura "alla fine del tubo",
la pressione atmosferica era proprio quella del liquido che scorreva
dentro la strozzatura, e qualche cm a monte di essa, dove la sezione del
tubo risultava quella originale, la velocita' era inferiore e la
pressione MAGGIORE.
Usando Bernoulli, dato che la quota dei due punti considerati era sempre
la medesima, doveva essere
p1 + rho v1^2 /2 = p2 rho v2^2 /2
E la velocita' lontano dalla bocca, nota quella ALLA bocca, per la
costanza della portata si ricava dividendo quest'ultima per il rapporto
fra le due sezioni.
Fatti i calcoli nel Sistema Internazionale e convertiti i risultati in
bar, risulta:
Nel caso di strozzatura a 1 m dall'apertura:
A tubo libero: v = 3,8 m/s, p = 1 bar
in pos. 1: v = 4,7 m/s, p = 0,96 bar
in pos. 2: v = 6,3 m/s, p = 0,87 bar
in pos. 3: v = 11,4 m/s, p = 0,40 bar
In quest'ultimo dato sta forse la spiegazione delle vibrazioni che avevo
percepito: con una pressione interna di 0,4 bar, nella strozzatura il
tubo era soggetto a una pressione di 0,6 bar, sufficiente a comprimerlo
ulteriormente. L'ulteriore riduzione della sezione probabilmente non
causava un ulteriore aumento della velocita' nella strozzature, ma
piuttosto una perdita di carico sufficiente a rallentarlo. A questo
punto la pressione interna aumentava, il tubo si ridilatava, e il ciclo
ricominciava. Che ne pensate?
Nel caso invece in cui era strozzata l'apertura, risulta:
A tubo libero: v = 3,9 m/s, p = 1 bar
in pos. 1: v = 3,9 m/s, p = 1,03 bar
in pos. 2: v = 3,9 m/s, p = 1,13 bar
in pos. 3: v = 3,25 m/s, p = 1,53 bar
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E' chiaro ora perche', anche se si strozza l'apertura del tubo con la
massima forza esercitabile dalle dita, al punto da ottenere un getto che
compie una parabola alta 4 metri (e che in verticale arriverebbe a 7 m),
la portata diminuisce di pochissimo.
La pressione effettivamente aumenta, e di BEN mezzo bar. Anche la
perdita di carico diminuisce, ma anch'essa di SOLO mezzo bar, mentre in
origine era pari alla pressione di esercizio della rete idrica, che
nominalmente e' di 3 bar (al di sopra della pressione atmosferica):
quindi la diminuzione della perdita di carico e' di circa 1/6, o del 17%.
SE siamo in regime lineare, e vale la formula di Poiseuille, la portata
diminuisce di altrettanto: e quindi il tempo di riempimento del secchio
passa esattamente da 10 a 12 secondi, come misurato...
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E' da notare che se, anziche' 12, avessi misurato 10 o 15 secondi, la
pressione calcolata non sarebbe variata di molto. Il punto e' che il
calcolo dell'aumento di pressione a monte della strozzatura e'
largamente indipendente da questa misura. Se si ipotizza un tempo di
riempimento del secchio di 10 o 20 secondi, l'aumento di pressione
calcolato varia da 0,51 a 0,56 bar. Infatti:
p - p_atm = rho/2*(v_uscita^2 - v_interna^2)
= rho/2*(v_uscita^2 - (Q/S)^2)
ma, nel caso in esame, Q/S e' circa 1/3 di v_uscita, e quindi (Q/S)^2 e'
circa 1/9 di v_uscita^2. Ogni variazione percentuale di Q comporta una
variazione percentuale di p-p_atm 10 volte inferiore.
Pero', se avessi misurato p.es. 13,4 s, l'aumento di pressione mi
sarebbe risultato, si', di 0,54 bar, ma la riduzione della portata
sarebbe risultata del 25%. Avrei potuto concluderne (con MOLTO beneficio
d'inventario...) che la pressione di esercizio non era dei canonici 3
bar, ma di soli 2 bar.
Il foglio che ho usato per i calcoli:
<http://www.terra32.it/trusso/serbatoi/MisurePortata/calcoliPortata.ods>
Se continui a strozzare il tubo (magari aiutandoti con una pinza),
a un certo punto (a tubo molto strozzato) l'attrito degli ultimi
centimetri non e' piu' trascurabile rispetto a quello di tutto il
resto delle tubature, e *la portata* inizia a diminuire.
Strozzando ancor piu', arriva il momento in cui la diminuzione
della portata supera la diminuzione della superficie d'uscita, e a
quel punto comincia a diminuire anche la velocita', fino a chiusura
totale.
Penso che un ugello o anche la strozzatura "a dito" abbia poco
attrito e che l'effetto principale sia una riduzione della portata e
di conseguenza anche delle cadute di pressione nella tubatura.
Per minimizzare le cadute di pressione, e avere disponibile prima
dell'ugello (quasi) la pressione di esercizio, devi avere portata
bassissima o quasi nulla. In questo caso tutta l'ulteriore perdita di
carico e' dovuta all'ugello: se fosse trascurabile, la velocita'
d'uscita sarebbe calcolabile dalla rho(v^2)/2=p_esercizio. Ma non sono
riuscito a procurarmi un ugello con queste caratteristiche.
Una prova l'ho fatta rimontando sul tubo la mia pistola a spruzzo, che
e' regolabile, e stringendo il getto al massimo. La portata, misurata
col secchio, si e' ridotta a 1/4 (45 s per riempirlo), ed ovviamente si
e' ridotta a 1/4 anche la velocita' all'interno delle tubazioni: in
regime di Poiseuille, avrebbe dovuto quindi ridursi a 1/4 anche la
perdita di carico fino alla fine del tubo, rendendomi disponibile subito
prima della pistola un carico pari alla pressione atmosferica + 1/4
della pressione di esercizio, ossia 1,75 bar. Puntando la pistola verso
l'alto, l'acqua raggiungeva le finestre al II piano (7 od 8 metri). Ma
rifacendo il calcolo con questi dati, l'ugello risultava di 0,16 cm^2, e
la pressione prima dell'ugello di 1,58 bar. Evidentemente la pistola
regolata per la massima distanza non puo' essere considerata un "ugello
privo di attrito", e introduce una sua non trascurabile perdita di carico.
Per ridurre la portata a valori trascurabilissimi, ho deciso di
sacrificare qualche cm del tubo: chiusa la pistola, ho praticato sul
tubo vicino al giunto un forellino con un chiodo di 1 mm di diametro.
Non ho dubbi che la pressione dentro il tubo in corrispondenza del foro
fosse ben superiore a prima (stimo 3+1 bar): ma il getto risultante,
sottilissimo, e' arrivato a 3 metri scarsi. Evidentemente neanche un
foro nel tubo, lungo non piu' dello spessore del tubo (~1mm), puo'
essere considerato un ugello di attrito nullo: anzi, dato che per la
legge di Poiseuille la resistenza idraulica cresce con 1/r^4, un
tubicino da meno di 1 mm di diametro lungo 1 mm oppone una resistenza
notevole. Per non parlare poi della resistenza che oppone l'ARIA ad un
getto molto sottile, che tende a nebulizzarsi.
Insomma, per verificare la legge di Torricelli l'unico modo e' proprio
fare un buco in basso sulla parete di una botte (o di una diga) :-)
Consiglio ai fisici e ai matematici di leggere un manuale per
ingegneri, ogni tanto.
Per non dover ogni volta, in un caso pratico, riscoprire l'acqua calda?
E' vero, ma vuoi mettere il divertimento di spiegare le strane
esperienze che si possono fare con l'idrodinamica partendo ab ovo, dai
principi primi, e di fare la doccia con l'acqua fredda nebulizzata in
queste giornate di quasi canicola? ;.)
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TRu-TS
buon vento e cieli sereni
