La geometria è morta?

[Luciano Buggio]

Chi si occupa di fisica vien chiamato fisico, chi di matematica matematico.
E chi si occupa di geometria?
Una volta si chiamava geometra, oggi il termine indica un altro mestiere, perchè la geometria è finita, si dice, morta, non c'è niente di nuovo da dire.
Ma è vero?

E l'uovo?
Me ne sono occupato più di vent'anni fa, trovandone l'equazione e scoprendone straordinarie proprietà.
La più prestigiosa rivista di matematica italiana ha pubblicato il mio lavoro, ma solo in parte (vedi l'ultima pagina del pdf che riporto di seguito) avendo scoperto che non ho titolo, che sono un falegname.

https://docs.wixstatic.com/ugd/dd6e69_943bd2344438467ba4715213a84d0466.pdf

Luciano Buggio

[Furio Petrossi]

Post by Luciano Buggio
Chi si occupa di fisica vien chiamato fisico, chi di matematica matematico.
E chi si occupa di geometria?
Una volta si chiamava geometra, oggi il termine indica un altro mestiere, perchè la geometria è finita, si dice, morta, non c'è niente di nuovo da dire.
Ma è vero?

Ormai la gran parte degli esami di "Geometria" all'Università si occupa solo algebra lineare, di spazi vettoriali; al massimo si occupa di geometria analitica nel piano e nello spazio.

[Luciano Buggio]

Post by Furio Petrossi

Post by Luciano Buggio
Chi si occupa di fisica vien chiamato fisico, chi di matematica matematico.
E chi si occupa di geometria?
Una volta si chiamava geometra, oggi il termine indica un altro mestiere, perchè la geometria è finita, si dice, morta, non c'è niente di nuovo da dire.
Ma è vero?

Ormai la gran parte degli esami di "Geometria" all'Università si occupa solo algebra lineare, di spazi vettoriali; al massimo si occupa di geometria analitica nel piano e nello spazio.

Però si insegna alle scuole medie, ed alle elementari, come si insegna ad un bimbo a parlare ed a ragionare.

Quindi è morta (nel senso della ricerca).

E dell'uovo cosa mi dici?
Come mai non era mai stato studiato prima?
Forse perchè lo si riteneva un oggetto troppo complesso - ha a che fare più con la biologia, se non con la filosofia, che con la matematica, qualcosa che trattata come si tratta il cerchio o il quadrato, ridotta ad una formula, poteva in qualche modo essere " dissacrata"?

Tornando all'insegnamento, mi spieghi perchè la cicloide (partendo dalla quale, tra l'altro, sono arrivato alla definizione geometrica dell'uovo) non si insegna a scuola, a nessun livello, ordine e grado, quando per essa, dopo la sua scoperta, secoli fa, i più grandi cervelli litigavano per attribuirsi la paternità della deduzione delle sue straordinarie proprietà?

Luciano Buggio

[Furio Petrossi]

Post by Luciano Buggio
Però si insegna alle scuole medie, ed alle elementari, come si insegna ad un bimbo a parlare ed a ragionare.
Quindi è morta (nel senso della ricerca).

Si trova ancora interesse sulla geometria euclidea o meno, non so se però a livello universitario. In fondo certi studi di topologia o sui nodi hanno ancora a che fare con la geometria, così lo studio di particolari superfici, anche se penso con gli strumenti della geometria differenziale.

A livello didattico liceale ci sono state diverse ondate interessanti.
Negli anni '70 si è lavorato molto con l'assiomatica (a partire dall'invettiva di Dieudonné 'Abbasso Euclide!').

Dopo l'avvento del personal computer ci sono stati alcuni ambienti interattivi che usavano primitive geometriche e producevano costruzioni dinamiche, basate solo sulle proprietà geometriche elementari. Il primo interessante ambiente, in Europa, è stato il francese "Cabri" (sigla che in francese indicava il brogliaccio interattivo), poi ampiamente sostituito dal gratuito Geogebra, che permetteva più flessibilità e che ora si presenta come ambiente completo di geometria sintetica e analitica, calcolatrice e calcolatrice grafica, sistema algebrico simbolico.

Il Geogebra 'geometrico' è visibile in https://www.geogebra.org/geometry

Post by Luciano Buggio
E dell'uovo cosa mi dici?
Come mai non era mai stato studiato prima?

Era stato studiato. Ad esempio Keplero pensò inizialmente che l'orbita dei pianeti dovesse essere ovoidale, prima di passare all'ellisse.
L'uovo di Keplero, un po' appuntito, proviene da una quartica del tipo
(x^2+y^2)^2-ax^3=0
Loading Image...
https://www.desmos.com/calculator/mlssw6rhuw

Più interessante, come forma è invece l'uovo di Granville, determinato da una equazione del tipo
x^2*y^2-a^2(x-(b-r))((b+r)-x)=0

Geometricamente nasce da una circonferenza, una tangente e un punto esterno sulla congiungente centro-punto di tangenza.

Il protocollo di costruzione è il seguente
1) disegna una circonferenza di centro O e raggio r
2) Scegli un punto T sulla circonferenza e disegna la retta t tangente
3) Sulla retta OT esternamente alla circonferenza dalla parte di T scegli in punto A
4) considera un punto P sulla circonferenza
5) traccia la retta AP e individuane l'intersezione R con t
6) trova il punto Q intersezione tra la parallela a t per P e la perpendicolare a t per R
7) la curva cercata è il luogo geometrico di Q al variare di P

https://www.geogebra.org/m/ZRqsXbBT
Loading Image...

C'è anche l'Uovo di Hügelschäffer
https://www.facebook.com/matematicadaddi/videos/943853592430983/?v=943853592430983

Ci sono tentativi piacevoli come quelli del filmato
http://www.xlatangente.it/page.php?pid=3250

Insomma, l'uovo non è stato trascurato, anzi ha affascinato molti, nella storia della geometria, ma ci sono diverse possibilità.

fp

[Furio Petrossi]

http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm


http://articles.adsabs.harvard.edu//full/1993JHA....24...71D/0000071.000.html

[Luciano Buggio]

Post by Furio Petrossi
http://www.mathematische-basteleien.de/eggcurves.htm

Qui ho trovato il mio, verso la fine della lista, incollo il breve testo con l'equazione, il quadrato del coseno:

The polar form r(t)=cos²t produces a double egg
(Münger 1894).

Oltretutto è l'equazione più semplice tra tutte quelle che mi hai fatto vedere.

Conosco Munger, disegnò anche dei bellissimi fiori, nel riferimento polare, ma non mi risulta che si sia dedicato alla ricerca di cui sopra, e che abbia comunque avuto avuto seguito.

Ribadisco (vedo che sei molto bravo a fare ricerche in rete, anche in inglese, che io non so) la mia richiesta : sono state studiate, queste curve? Hanno delle proprietà interessanti?
Hai dato un'occhiata al mio lavoro (tra l'altro c'è anche la quadratura del cerchio).

https://docs.wixstatic.com/ugd/dd6e69_943bd2344438467ba4715213a84d0466.pdf


Luciano Buggio

[Furio Petrossi]

Post by Luciano Buggio
The polar form r(t)=cos²t produces a double egg
(Münger 1894).
Oltretutto è l'equazione più semplice tra tutte quelle che mi hai fatto vedere.

L'uovo di gallina non è l'unico, per cui potrebbero essere possibili diverse soluzioni.

Post by Luciano Buggio
Ribadisco (vedo che sei molto bravo a fare ricerche in rete, anche in inglese, che io non so) la mia richiesta : sono state studiate, queste curve? Hanno delle proprietà interessanti?

Ho fatto una veloce ricerca: segnalo tre collegamenti:

1) una esplorazione della curva di Münger che ne analizza diverse proprietà
https://www.mathcurve.com/courbes2d.gb/oeufdouble/oeufdouble.shtml

2) il sito dell'International Journal of Food Properties con una serie di articoli sull'uovo, tra cui "Novel Approaches in Mathematical Description of Hen Egg Geometry" (Nuovi approcci nella descrizione matematica della geometria dell'uovo di gallina)
https://www.tandfonline.com/doi/full/10.1080/10942912.2011.595028 ed altri segnalati in coda all'articolo.
Nelle parti "Display Table" e nelle figure ci sono interessanti dati sulle uova e la variabilità della loro forma

3) L'articolo "THE MATHEMATICS OF EGG SHAPE" oltre ad analizzare alcune proprietà matematiche e fisiche, cerca di identificare i fenomeni reali che hanno prodotto tale forma ed alcuni spetti evolutivi: un uovo a forma sferica potrebbe rotolare rompendosi più facilmente di uno a forma ovale o piriforme avrebbe più probabilità di non rompersi.
https://ijpam.eu/contents/2012-78-5/8/8.pdf

Post by Luciano Buggio
Hai dato un'occhiata al mio lavoro (tra l'altro c'è anche la quadratura del cerchio).
https://docs.wixstatic.com/ugd/dd6e69_943bd2344438467ba4715213a84d0466.pdf

L'ho letto velocemente: è un articolo complesso e articolato e va più studiato che letto. Con calma lo guardo in settimana.

Furio

[Luciano Buggio]

Post by Furio Petrossi

Post by Luciano Buggio
Però si insegna alle scuole medie, ed alle elementari, come si insegna ad un bimbo a parlare ed a ragionare.
Quindi è morta (nel senso della ricerca).

Si trova ancora interesse sulla geometria euclidea o meno, non so se però a livello universitario. In fondo certi studi di topologia o sui nodi hanno ancora a che fare con la geometria, così lo studio di particolari superfici, anche se penso con gli strumenti della geometria differenziale.
A livello didattico liceale ci sono state diverse ondate interessanti.
Negli anni '70 si è lavorato molto con l'assiomatica (a partire dall'invettiva di Dieudonné 'Abbasso Euclide!').
Dopo l'avvento del personal computer ci sono stati alcuni ambienti interattivi che usavano primitive geometriche e producevano costruzioni dinamiche, basate solo sulle proprietà geometriche elementari. Il primo interessante ambiente, in Europa, è stato il francese "Cabri" (sigla che in francese indicava il brogliaccio interattivo), poi ampiamente sostituito dal gratuito Geogebra, che permetteva più flessibilità e che ora si presenta come ambiente completo di geometria sintetica e analitica, calcolatrice e calcolatrice grafica, sistema algebrico simbolico.
Il Geogebra 'geometrico' è visibile in https://www.geogebra.org/geometry

Post by Luciano Buggio
E dell'uovo cosa mi dici?
Come mai non era mai stato studiato prima?

Era stato studiato. Ad esempio Keplero pensò inizialmente che l'orbita dei pianeti dovesse essere ovoidale, prima di passare all'ellisse.
L'uovo di Keplero, un po' appuntito, proviene da una quartica del tipo
(x^2+y^2)^2-ax^3=0
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/it/d/dc/Uovo_di_Keplero.jpg
https://www.desmos.com/calculator/mlssw6rhuw
Più interessante, come forma è invece l'uovo di Granville, determinato da una equazione del tipo
x^2*y^2-a^2(x-(b-r))((b+r)-x)=0
Geometricamente nasce da una circonferenza, una tangente e un punto esterno sulla congiungente centro-punto di tangenza.
Il protocollo di costruzione è il seguente
1) disegna una circonferenza di centro O e raggio r
2) Scegli un punto T sulla circonferenza e disegna la retta t tangente
3) Sulla retta OT esternamente alla circonferenza dalla parte di T scegli in punto A
4) considera un punto P sulla circonferenza
5) traccia la retta AP e individuane l'intersezione R con t
6) trova il punto Q intersezione tra la parallela a t per P e la perpendicolare a t per R
7) la curva cercata è il luogo geometrico di Q al variare di P
https://www.geogebra.org/m/ZRqsXbBT
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/it/3/33/Uovo_di_Granville.gif
C'è anche l'Uovo di Hügelschäffer
https://www.facebook.com/matematicadaddi/videos/943853592430983/?v=943853592430983
Ci sono tentativi piacevoli come quelli del filmato
http://www.xlatangente.it/page.php?pid=3250
Insomma, l'uovo non è stato trascurato, anzi ha affascinato molti, nella storia della geometria, ma ci sono diverse possibilità.

0a quelli che mi hai fatto vedere qui non somigliano molto all'uovo reale.
Inoltre vorrei chiederti, è stata studiata qualcuna di queste curve, o altre simili, per vedere se godono di interessanti proprietà (come ho fatto io con la mia?)

Luciano Buggio

Post by Furio Petrossi
fp

[f***@gmail.com]

Post by Luciano Buggio
Tornando all'insegnamento, mi spieghi perchè la cicloide (partendo dalla quale, tra l'altro, sono arrivato alla definizione geometrica dell'uovo) non si insegna a scuola, a nessun livello, ordine e grado

https://it.wikipedia.org/wiki/Cicloide

Secondo me sarebbe, per la fisica,
più interessante la CATENARIA a scuola:)
https://it.wikipedia.org/wiki/Catenaria

Ricordo di averla vista a scuola per la prima
volta la catenaria.
E' interessante per la fisica per i motivi
che vengono spiegati su wikipedia.

In ogni caso, a mio parere,
a scuola da quando si insiste
sulle FUNZIONI, ecco che è dato
tutto. Infatti ogni curva non è altro
che una funzione nel piano.
E se per es. si pensa alla SUPERFICIE
dell'uovo (o della sfera o di altro)
ecco che ci spostiamo nello spazio,
cioè immergiamo la superficie in dimensione tre.

Dopo la faccenda interessante
è capire se su questo tipo di superficie
vale ancora la geometria euclidea
del piano.
Sulla sfera per es. non vale più.
Quindi ci si chiede: quante geometrie
possiamo inventarci a seconda
delle superfici?
Sulla pseudo sfera quale geometria
vale?
https://it.wikipedia.org/wiki/Pseudosfera

Quindi sono costretto a parlare
di curvatura di una superficie
e così si inizia a fare geometria
differenziale.
La cosa molto interessante
a mio parere è che nel mentre
si pensa che ci si sia definitivamente
allontanati dalla geometria
con riga e compasso, ecco
che su NUOVE superfici siamo
costretti ad usare riga
e compasso (in modo astratto
ovviamente) per provare
a capire se sia o meno valida
la geometria euclidea del piano.

Quindi la geometria non è mai morta:))
Se per geometria intendo
quella attività dove sono costretto
a OSSERVARE il disegno, a tracciare
linee e curve, ecco che la geometria
non è morta, anche a livello
di ricerca avanzata.
Può anche darsi che la maggior
parte del lavoro da svolgere
venga effettuato sulle equazioni,
diventi cioè un lavoro algebrico.
Ma se ad un certo punto ho bisogno
di osservare la figura, la superficie
e valutare cosa può succedere
sulla stessa, ecco che ritorno
a fare geometria.

Per es. sulla superficie dell'uovo
la geometria euclidea del piano
vale tutta?
Qual è la differenza tra la geometria
che vale sulla superficie della sfera
e quella sulla superficie dell'uovo?
E su un TORO, su una superficie
toroidale vale sempre quella della
sfera?

Si parte da qui per capire
cosa possa mai essere una geometria
non euclidea, cioè una geometria
costruita su una superficie
dove però non valgono tutti
i teoremi che valgono nel piano.
https://it.wikipedia.org/wiki/Geometria_sferica

[Luciano Buggio]

Post by f***@gmail.com

Post by Luciano Buggio
Tornando all'insegnamento, mi spieghi perchè la cicloide (partendo dalla quale, tra l'altro, sono arrivato alla definizione geometrica dell'uovo) non si insegna a scuola, a nessun livello, ordine e grado

https://it.wikipedia.org/wiki/Cicloide

Ok.
la cicloide è una curva nota (c'è perfino su wiki).
Io dicevo che non si insegna nelle scuole:
O vuoi dire che non è vero, che cioè si insegna nelle scuole?

Luciano Buggio

[c***@gmail.com]

Post by Luciano Buggio

Post by f***@gmail.com

Post by Luciano Buggio
Tornando all'insegnamento, mi spieghi perchè la cicloide (partendo dalla quale, tra l'altro, sono arrivato alla definizione geometrica dell'uovo) non si insegna a scuola, a nessun livello, ordine e grado

https://it.wikipedia.org/wiki/Cicloide

Ok.
la cicloide è una curva nota (c'è perfino su wiki).
O vuoi dire che non è vero, che cioè si insegna nelle scuole?

Da quel che so io, nei programmi
ministeriali di venti anni fa non c'erano
neppure le coniche. Ora però le coniche
ci sono:
http://www.indire.it/lucabas/lkmw_file/licei2010/indicazioni_nuovo_impaginato/_Liceo%20scientifico.pdf

Qui per es le coniche non ci sono:
https://www.edscuola.it/archivio/norme/programmi/scientifico.html#MATEMATICA

E però sono anche sicuro di averle studiate
a scuola con tutto che oggi noto
che nei programmi dell'epoca non c'erano.
Questo significa che DIPENDE
dal docente, dalla classe se segue o meno.

Non ci vuole molto a far vedere
la cicloide e così anche le coniche.
Il problema è poi stare lì ad approfondire
con le equazioni e i tanti esercizi.
Quindi a mio parere SICURAMENTE
tantissimi studenti a scuola
hanno visto e vedono e vedranno
la cicloide come la catenaria
e tantissimi altri NON l'hanno vista,
non la vedono e non la vedranno.

Ci sono LIBRI DI TESTO che
la fanno vedere, quindi il docente
girando le pagine la spiega un attimo,
oppure lo studente studiando a casa,
la vede.
A volte i programmi vengono anticipati
dai libri di testo che propongono vari
argomenti.
Poi dopo decenni al ministero
aggiornano i programmi.

PS Sono da sempre stato
appassionato di matematica
ma mi sono reso conto
che alle scuole superiori
SE NE FA TROPPA!!
Bisogna dare spazio
alla storia, al diritto
e all'economia.

[Luciano Buggio]

Post by f***@gmail.com

Post by Luciano Buggio
Tornando all'insegnamento, mi spieghi perchè la cicloide (partendo dalla quale, tra l'altro, sono arrivato alla definizione geometrica dell'uovo) non si insegna a scuola, a nessun livello, ordine e grado

https://it.wikipedia.org/wiki/Cicloide
Secondo me sarebbe, per la fisica,
più interessante la CATENARIA a scuola:)
https://it.wikipedia.org/wiki/Catenaria
Ricordo di averla vista a scuola per la prima
volta la catenaria.
E' interessante per la fisica per i motivi
che vengono spiegati su wikipedia.
In ogni caso, a mio parere,
a scuola da quando si insiste
sulle FUNZIONI, ecco che è dato
tutto. Infatti ogni curva non è altro
che una funzione nel piano.
E se per es. si pensa alla SUPERFICIE
dell'uovo (o della sfera o di altro)
ecco che ci spostiamo nello spazio,
cioè immergiamo la superficie in dimensione tre.

Se col compasso disegno una circonferenza sulla superficie di una sfera, ho disegnato in qualche modo anche un cerchio?

Luciano Buggio

[Furio Petrossi]

Ho saltato, non so come mai una pagina con più articoli, di interesse prevalentemente zoologico e alimentare tratte dal "British Poultry Science" (giornale britannico di scienza dell'allevamento del pollame), dal "Journal of Applied Animal Research" oltre che dal già citato "International Journal of Food Properties". Un certo interesse per la forma è anche dovuto alla possibilità di suddividere automaticamente per dimensioni le uova.
Ci sono comunque aspetti fisici e matematici, oltre che medici e chimici.

https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00071667008415805

A te potrebbe interessare
https://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/00071666808415706

Nota che a sinistra c'è un modulo a discesa per scegliere la lingua.

fp

[Furio Petrossi]

Gli articoli tratti dal web possono essere tradotti automaticamente da
https://translate.google.com/
inserendo l'indirizzo preso dalla barra degli indirizzi del browser, ad esempio:

https://translate.google.com/translate?sl=en&tl=it&u=https%3A%2F%2Fwww.tandfonline.com%2Fdoi%2Ffull%2F10.1080%2F10942912.2011.595028

in cui il titolo diventa "Nuovi approcci nella descrizione matematica della geometria dell'uovo di gallina"

fp

[Luciano Buggio]

Post by Furio Petrossi
Gli articoli tratti dal web possono essere tradotti automaticamente da
https://translate.google.com/
https://translate.google.com/translate?sl=en&tl=it&u=https%3A%2F%2Fwww.tandfonline.com%2Fdoi%2Ffull%2F10.1080%2F10942912.2011.595028
in cui il titolo diventa "Nuovi approcci nella descrizione matematica della geometria dell'uovo di gallina"
fp

Ti ringrazio per l'abbondantissima documentazione.
Mi ci vorrà del tempo.

Luciano Buggio

[Furio Petrossi]

Ultima cosa, poi non disturbo.

Su https://www.geogebra.org/m/ugn9fsxk
Ho riportato la forma di massima
1.5396B (L^0.5 x^1.5 - x²)^0.5 / L

ricavata da V.G.Narushin, The Avian Egg: Geometrical Description and Calculation of Parameters,Journal of Agricultural Engineering Research, 1997

Appena posso metterò la tua costruzione.

[Luciano Buggio]

Post by Furio Petrossi
Ultima cosa, poi non disturbo.
Su https://www.geogebra.org/m/ugn9fsxk
Ho riportato la forma di massima
1.5396B (L^0.5 x^1.5 - x²)^0.5 / L

Anche il mio uovo ha la punta, al polo con curvatura maggiore, curvatura che è infinita (raggio nullo della più grande circonferenza tangente internamente - vedi a pag. 10 del mio saggio: L'evoluta - che ha lì l'unico punto in comune con la curva).
Paradossale è che la punta *c'è e non c'è*, e questo perché, a differenza di quel che avviene nell'uovo che qui sopra hai costruito, nel mio le due tangenti alla curva in quel punto sono sovrapposte, non si intersecano.

luciano buggio

[Furio Petrossi]

Post by Luciano Buggio
Anche il mio uovo ha la punta

Per curiosità ho calcolato la curvatura.
La curva è definita parametricamente come
x(θ)=(2 COS(θ)^3,y(θ)= 2 SIN(θ)COS(θ)^2

da cui
x'(θ)=-6 SIN(θ)COS(θ)^2, y'(θ)= COS(θ)(2 - 6 SIN(θ)^2)
x"(θ)=[COS(θ)(18 SIN(θ)^2 - 6), y"(θ)= -12 SIN(θ)COS(θ)^2 + 6 SIN(θ)^3 - 2 SIN(θ)

usando la formula (scritta spiccia)

k = 1/r =|x'y"-y'x"|/(x'^2+y'^2)^(3/2)

si ottiene
|(-6 SIN(θ)COS(θ)^2)(-12 SIN(θ)COS(θ)^2 + 6 SIN(θ)^3 - 2 SIN(θ))-(COS(θ)(2 - 6 SIN(θ)^2))(COS(θ)(18 SIN(θ)^2 - 6))|/((- 6 SIN(θ)COS(θ)^2)^2+(COS(θ)(2 - 6 SIN(θ)^2))^2)^(3/2)

che tende a infinito per θ tendente a pi/2, mentre vale 3/2 per θ=0

fp

[Furio Petrossi]

Post by Furio Petrossi
Per curiosità ho calcolato la curvatura.

Ho aggiunto in
https://www.geogebra.org/m/vcpmk38r

(scorrendo in basso)
Un disegno dinamico sul raggio di curvatura

fp

[Luciano Buggio]

Post by Furio Petrossi

Post by Furio Petrossi
Per curiosità ho calcolato la curvatura.

Ho aggiunto in
https://www.geogebra.org/m/vcpmk38r
(scorrendo in basso)
Un disegno dinamico sul raggio di curvatura.

Bello: dove la curvatura è minima (in due punti) è la stessa della circonferenza in cui l'uovo è inscritto

Inoltre: non è per caso :-) che il rapporto tra AK e AO sia aureo?
A spanne lo sembra.

ciao.

luciano

[Luciano Buggio]

Post by Luciano Buggio

Post by Furio Petrossi

Post by Furio Petrossi
Per curiosità ho calcolato la curvatura.

Ho aggiunto in
https://www.geogebra.org/m/vcpmk38r
(scorrendo in basso)
Un disegno dinamico sul raggio di curvatura.

Bello: dove la curvatura è minima (in due punti) è la stessa della circonferenza in cui l'uovo è inscritto

Cancella: lì la curvatura non è minima.

Post by Luciano Buggio
Inoltre: non è per caso :-) che il rapporto tra AK e AO sia aureo?
A spanne lo sembra.

Coincidenza?

Post by Luciano Buggio
ciao.
luciano

[Luciano Buggio]

Post by Luciano Buggio

Post by Luciano Buggio

Post by Furio Petrossi

Post by Furio Petrossi
Per curiosità ho calcolato la curvatura.

Ho aggiunto in
https://www.geogebra.org/m/vcpmk38r
(scorrendo in basso)
Un disegno dinamico sul raggio di curvatura.

Bello: dove la curvatura è minima (in due punti) è la stessa della circonferenza in cui l'uovo è inscritto

Cancella: lì la curvatura non è minima.

Post by Luciano Buggio
Inoltre: non è per caso :-) che il rapporto tra AK e AO sia aureo?
A spanne lo sembra.

Coincidenza?

Cioè: la domanda resta:
Dove la curvatura è uguale a quella costante della circonferenza generatrice il rapporto del raggio con la distanza del punto dall'origine è aureo?

Post by Luciano Buggio

Post by Luciano Buggio
ciao.
luciano

[Luciano Buggio]

Post by Luciano Buggio

Post by Luciano Buggio

Post by Luciano Buggio

Post by Furio Petrossi

Post by Furio Petrossi
Per curiosità ho calcolato la curvatura.

Ho aggiunto in
https://www.geogebra.org/m/vcpmk38r
(scorrendo in basso)
Un disegno dinamico sul raggio di curvatura.

Bello: dove la curvatura è minima (in due punti) è la stessa della circonferenza in cui l'uovo è inscritto

Cancella: lì la curvatura non è minima.

Post by Luciano Buggio
Inoltre: non è per caso :-) che il rapporto tra AK e AO sia aureo?
A spanne lo sembra.

Coincidenza?

Dove la curvatura è uguale a quella costante della circonferenza generatrice il rapporto del raggio con la distanza del punto dall'origine è aureo?

Ci sono quattro punti in cui il raggio di curvatura è r.
Gli altri due, ipotizzo, si hanno per t=+-p/4 (ed il rapporto di cui sopra è 1)
Ti risulta?

Luciano Buggio

Post by Luciano Buggio

Post by Luciano Buggio

Post by Luciano Buggio
ciao.
luciano

[JTS]

Post by Furio Petrossi

Post by Luciano Buggio
Anche il mio uovo ha la punta

Per curiosità ho calcolato la curvatura.
La curva è definita parametricamente come
x(θ)=(2 COS(θ)^3,y(θ)= 2 SIN(θ)COS(θ)^2
da cui
x'(θ)=-6 SIN(θ)COS(θ)^2, y'(θ)= COS(θ)(2 - 6 SIN(θ)^2)
x"(θ)=[COS(θ)(18 SIN(θ)^2 - 6), y"(θ)= -12 SIN(θ)COS(θ)^2 + 6 SIN(θ)^3 - 2 SIN(θ)
usando la formula (scritta spiccia)
k = 1/r =|x'y"-y'x"|/(x'^2+y'^2)^(3/2)
si ottiene
|(-6 SIN(θ)COS(θ)^2)(-12 SIN(θ)COS(θ)^2 + 6 SIN(θ)^3 - 2 SIN(θ))-(COS(θ)(2 - 6 SIN(θ)^2))(COS(θ)(18 SIN(θ)^2 - 6))|/((- 6 SIN(θ)COS(θ)^2)^2+(COS(θ)(2 - 6 SIN(θ)^2))^2)^(3/2)
che tende a infinito per θ tendente a pi/2, mentre vale 3/2 per θ=0
fp

Questa risposta e' sia per te che per Luciano. La curvatura uguale a
infinito ma con stessa tangente da una parte e dall'altra del punto a
curvatura infinita non la ho ancora capita intuitivamente.

Secondo voi potrebbe dipendere dal fatto che la curvatura si avvicina
all'infinito tanto lentamente (e quindi "rimane infinita" per un tratto
talmente piccolo - lo so che quello che ho scritto non rappresenta la
verita' matematica) che la tangente "non ha il tempo di deviare"?

Poi per Luciano: ma come hai fatto ad immaginarti una cosa cosi' perfida
;-) ?

[Luciano Buggio]

Post by JTS

Post by Furio Petrossi

Post by Luciano Buggio
Anche il mio uovo ha la punta

Per curiosità ho calcolato la curvatura.
La curva è definita parametricamente come
x(θ)=(2 COS(θ)^3,y(θ)= 2 SIN(θ)COS(θ)^2
da cui
x'(θ)=-6 SIN(θ)COS(θ)^2, y'(θ)= COS(θ)(2 - 6 SIN(θ)^2)
x"(θ)=[COS(θ)(18 SIN(θ)^2 - 6), y"(θ)= -12 SIN(θ)COS(θ)^2 + 6 SIN(θ)^3 - 2 SIN(θ)
usando la formula (scritta spiccia)
k = 1/r =|x'y"-y'x"|/(x'^2+y'^2)^(3/2)
si ottiene
|(-6 SIN(θ)COS(θ)^2)(-12 SIN(θ)COS(θ)^2 + 6 SIN(θ)^3 - 2 SIN(θ))-(COS(θ)(2 - 6 SIN(θ)^2))(COS(θ)(18 SIN(θ)^2 - 6))|/((- 6 SIN(θ)COS(θ)^2)^2+(COS(θ)(2 - 6 SIN(θ)^2))^2)^(3/2)
che tende a infinito per θ tendente a pi/2, mentre vale 3/2 per θ=0
fp

Questa risposta e' sia per te che per Luciano. La curvatura uguale a
infinito ma con stessa tangente da una parte e dall'altra del punto a
curvatura infinita non la ho ancora capita intuitivamente.

E non la si potrà mai capire: la nostra mente non può intendere nè l'infinito nè l'infinitesimo (non a caso ne desumiano cose che chiamiamo *paradossi* (vedi quelli di Zenone per quanto riguarda al'infinitesimo).
Solo Dio (intendo quello di G.Bruno) può capire queste cose, che sono cose sue, egli è l'Infinito.

Post by JTS
Secondo voi potrebbe dipendere dal fatto che la curvatura si avvicina
all'infinito tanto lentamente (e quindi "rimane infinita" per un tratto
talmente piccolo - lo so che quello che ho scritto non rappresenta la
verita' matematica) che la tangente "non ha il tempo di deviare"?

Vedi?
La curvatura si misura nell'intorno infinitesimo di un punto, però non è infinita in qUEll'intorno, per quanto piccolo sia, ma *solo* nel punto, cioè *al Limite*

Vedi il segno di uguale nell'espressione limf(x) per x->a = ...
Il che significa che la funzione tende ad un valore al tendere della x ad un certo valore: di più non possiamo dire se quel valore non appartiene al dominio della funzione.

Post by JTS
Poi per Luciano: ma come hai fatto ad immaginarti una cosa cosi' perfida

Ma di che ti stupisci? Non mi sono inventato nulla.
E poi, se ti stupisce la punta del mio uovo (che a ben guardare si può anche vedere, se lo confronti con quello reale della gallina (uguale a quello di Pasqua) che mi dici della curvatura infinita alle due estremità della cicloide (l'unica curva con l'evoluta uguale alla curva stessa) ?

Luciano Buggio

Post by JTS
;-) ?

[El Filibustero]

Post by JTS
La curvatura uguale a
infinito ma con stessa tangente da una parte e dall'altra del punto a
curvatura infinita non la ho ancora capita intuitivamente.

Come ad esempio il grafico di y=x^4 nell'origine?

Post by JTS
Secondo voi potrebbe dipendere dal fatto che la curvatura si avvicina
all'infinito tanto lentamente (e quindi "rimane infinita" per un tratto
talmente piccolo

piccolissimo, direi: puntiforme.

Post by JTS
- lo so che quello che ho scritto non rappresenta la
verita' matematica) che la tangente "non ha il tempo di deviare"?

e perche' dovrebbe deviare? diciamo che e' la curva che per un istante
si spiattella sulla tangente.

[JTS]

Post by El Filibustero

Post by JTS
La curvatura uguale a
infinito ma con stessa tangente da una parte e dall'altra del punto a
curvatura infinita non la ho ancora capita intuitivamente.

Come ad esempio il grafico di y=x^4 nell'origine?

La ho calcolata (prendendo per per buona la formula di FP del messaggio
sopra) parametrizzando con

x = t
y = t^4

e mi viene

12 * t^2/(1 + 16 t^6)^(3/2)

che non e' infinita per t = 0

Post by El Filibustero

Post by JTS
Secondo voi potrebbe dipendere dal fatto che la curvatura si avvicina
all'infinito tanto lentamente (e quindi "rimane infinita" per un tratto
talmente piccolo

piccolissimo, direi: puntiforme.

Post by JTS
- lo so che quello che ho scritto non rappresenta la
verita' matematica) che la tangente "non ha il tempo di deviare"?

e perche' dovrebbe deviare? diciamo che e' la curva che per un istante
si spiattella sulla tangente.

La mia idea intuitiva e' che dovrebbe deviare "perche' aderisce al
secondo ordine ad una circonferenza piccolissima".
Ma sto cominciando a convincermi che non basta.

[JTS]

Post by JTS

Post by El Filibustero

Post by JTS
La curvatura uguale a
infinito ma con stessa tangente da una parte e dall'altra del punto a
curvatura infinita non la ho ancora capita intuitivamente.

Come ad esempio il grafico di y=x^4 nell'origine?

La ho calcolata (prendendo per per buona la formula di FP del messaggio
sopra) parametrizzando con
x = t
y = t^4
e mi viene
12 * t^2/(1 + 16 t^6)^(3/2)
che non e' infinita per t = 0

Post by El Filibustero

Post by JTS
Secondo voi potrebbe dipendere dal fatto che la curvatura si avvicina
all'infinito tanto lentamente (e quindi "rimane infinita" per un tratto
talmente piccolo

piccolissimo, direi: puntiforme.

Post by JTS
- lo so che quello che ho scritto non rappresenta la
verita' matematica) che la tangente "non ha il tempo di deviare"?

e perche' dovrebbe deviare? diciamo che e' la curva che per un istante
si spiattella sulla tangente.

La mia idea intuitiva e' che dovrebbe deviare "perche' aderisce al
secondo ordine ad una circonferenza piccolissima".
Ma sto cominciando a convincermi che non basta.

Forse cosi': se l'integrale della curvatura in un intervallo piccolo a piacere attorno al punto considerato e' finito, allora la direzione cambia bruscamente. Se invece tende a zero, allora la direzione della curva cambia in maniera continua.

[El Filibustero]

Post by JTS

Post by JTS

Post by El Filibustero

Post by JTS
La curvatura uguale a
infinito ma con stessa tangente da una parte e dall'altra del punto a
curvatura infinita non la ho ancora capita intuitivamente.

Come ad esempio il grafico di y=x^4 nell'origine?

La ho calcolata

Oooooooooooops, chiedo scusa, ho letto "raggio di curvatura" invece di
"curvatura". Allora potremmo parlare di y=sqrt|xxx| in x=0, vedi sotto

Post by JTS
Forse cosi': se l'integrale della curvatura in un intervallo piccolo
a piacere attorno al punto considerato e' finito, allora la direzione
cambia bruscamente. Se invece tende a zero, allora la direzione della
curva cambia in maniera continua.

Premessa: non considero ora casi patologici. Solo funzioni continue
che - in ogni intorno del punto "critico" P, a parte P - sono
regolari; eventualmente in P potrebbero non avere derivata prima o
seconda, ma solo in P.

Se in P non c'e' la tangente, allora P e' un punto angoloso o una
cuspide, percio' non c'e dubbio che la direzione cambia bruscamente in
questo caso. La tua caratterizzazione con integrale pero' pare
difficile da formalizzare, anche se intuitivamente rende l'idea.
Infatti -- in termini grossolani -- la f" in un punto angoloso sarebbe
una delta di Dirac, con integrale finito, per quanto piccolo sia
l'intervallo. Ma forse non volevi nemmeno prendere in considerazione
l'assenza di tangente in P.

Se in P c'e' la tangente, la curva puo' essere ad essa riferita
assumendola cone asse delle ascisse con origine in P. Allora la f' e'
nulla e continua in x=0 (niente casi patologici, come detto). Cio'
comporta che l'integrale della curvatura tenda a zero se l'ampiezza
dell'intervallo di integrazione tende a zero. Infatti la curvatura

f"/(1+f'^2)^(3/2)

e' senz'altro minore di f", sicche' il suo integrale su [a,b] e'
minore di f'(b)-f'(a), che tende a 0 per b-a --> 0. Ma c'e' da
interpretare cosa si intende con "bruscamente". Nel caso di
f(x):=sqrt|xxx| e' vero che in x=0 abbiamo una derivata prima continua
che rende l'idea di un cambiamento continuo di direzione, ma la
"velocita' di cambiamento" nell'origine e' infinita (dato che f" e'
infinita in x=0) cio' potrebbe essere pensato come un brusca
variazione di direzione. Ciao

[Furio Petrossi]

Post by El Filibustero
Se in P non c'e' la tangente, allora P e' un punto angoloso o una
cuspide, percio' non c'e dubbio che la direzione cambia bruscamente in
questo caso.

L'uovo ha anche una equazione cartesiana:
y = +-x^(2/3)·√(2^(2/3) - x^(2/3))
la cui derivata tende a infinito per x tendente a zero

Riflettendo l'uovo, scambiando x e y, possiamo vedere che la derivata c'è ed è unica, vale 0.
Tuttavia in x=0 la derivata (*) presenta un flesso verticale, per cui la derivata seconda non è definita e tende a +infinito per x tendente a 0, come ci si aspettava per via del raggio di curvatura nullo.

fp

---
(*) che non consiglio a nessuno:
4·SIGN(x)·COS(ATAN(√3·(27·x^2 - 8)/(9·x·√(16 - 27·x^2)))/3)·√(2·SIGN(x)·SIN(ATAN(√3·(27·x^2 - 8)/(9·x·√(16 - 27·x^2)))/3) + 1)/√(16 - 27·x^2)

[Luciano Buggio]

Post by Furio Petrossi

Post by El Filibustero
Se in P non c'e' la tangente, allora P e' un punto angoloso o una
cuspide, percio' non c'e dubbio che la direzione cambia bruscamente in
questo caso.

y = +-x^(2/3)·√(2^(2/3) - x^(2/3))

E' la stessa, scritta in altro modo, che trovi a pag. 2 , II-3, nel mio pdf.

L.B.

[Furio Petrossi]

Post by El Filibustero
Se in P non c'e' la tangente, allora P e' un punto angoloso o una
cuspide

Non c'è una cuspide nella curva, casomai nella funzione raggio di curvatura rispetto all'angolo.

La funzione si comporta in prossimità dello zero come y=x^(2/3).

Se preferisci rovesciarla, diventa y=|x|^(3/2), che ha come derivata 3Sqrt[x])/2*segno(x), quindi nulla in x=0, senza problemi per la tangenza, e come derivata seconda 3/(4 Sqrt|x|).

Il problema sta proprio qui: è la derivata seconda a non essere definita in zero e a tendere a infinito, da cui il raggio di curvatura tende a zero.

[El Filibustero]

Post by Furio Petrossi

Post by El Filibustero
Se in P non c'e' la tangente, allora P e' un punto angoloso o una
cuspide

Non c'è una cuspide nella curva, casomai nella funzione raggio
di curvatura rispetto all'angolo.
La funzione si comporta in prossimità dello zero come y=x^(2/3).

Li' non sto parlando della specifica funzione del thread, ma di una
curva in generale (meglio: non in assoluta generalita', perche' --
come detto -- non considero situazioni particolarmente patologiche).
Se in questo contesto di generalita' una curva continua in P non
ammette tangente, P e' un punto angoloso o una cuspide.

Ho discusso questa situazione di assenza della tangente -- anche se
non attinente alla specifica curva del thread -- in merito al criterio
dell'integrale di JTS. Infatti essa e' condizione necessaria (in un
certo senso intuitivo) affinche' si verifichi che l'integrale della
curvatura attorno a P sia non infinitesimo al restringersi del dominio
di integrazione attorno a P.

In altri termini, se JTS vuole stabilire un criterio -- da applicare
*solo* alla categoria C delle curve che ammettono tangente in P -- per
distinguere variazioni di curvatura in P brusche o dolci, l'integrale
che ha proposto non va bene, perche' secondo quel criterio le curve di
C sarebbero tutte "dolci".

Post by Furio Petrossi
Se preferisci rovesciarla, diventa y=|x|^(3/2), che ha come derivata
3Sqrt[x])/2*segno(x), quindi nulla in x=0, senza problemi per la tangenza

Appunto: ho discusso successivamente del caso di sqrt|xxx|, che
ammette tangente in x=0, curva di categoria C, che NON rientra quindi
nel caso di cuspidi o punti angolosi. Ciao

[Luciano Buggio]

Post by El Filibustero

Post by JTS
La curvatura uguale a
infinito ma con stessa tangente da una parte e dall'altra del punto a
curvatura infinita non la ho ancora capita intuitivamente.

Come ad esempio il grafico di y=x^4 nell'origine?

Post by JTS
Secondo voi potrebbe dipendere dal fatto che la curvatura si avvicina
all'infinito tanto lentamente (e quindi "rimane infinita" per un tratto
talmente piccolo

piccolissimo, direi: puntiforme.

Piccolissimo o puntiforme?

Post by El Filibustero

Post by JTS
- lo so che quello che ho scritto non rappresenta la
verita' matematica) che la tangente "non ha il tempo di deviare"?

e perche' dovrebbe deviare? diciamo che e' la curva che per un istante
si spiattella sulla tangente.

[Furio Petrossi]

Post by JTS
Questa risposta e' sia per te che per Luciano. La curvatura uguale a
infinito ma con stessa tangente da una parte e dall'altra del punto a
curvatura infinita non la ho ancora capita intuitivamente.

Il problema è un po' diverso.

Parliamo, invece della curvatura, del raggio di curvatura, che può essere anche semplificato in
2 abs(cos(θ))(3 sin(θ)^2 + 1)^(3/2)/(3 (sin(θ)^2 + 1))

il raggio tende a 0 per θ tendente a +-pi/2; notiamo il valore assoluto

La curva iniziale è a forma di "8" per cui il raggio di curvatura viene calcolato su un ramo, ma sul centro dell' "8" concorrono due rami, per cui vanno considerati separatamente due limiti per la curvatura.

Infatti la derivata di tale funzione è
-4 sin(θ) sign(cos(θ)) √(3·sin(θ)^2 + 1) (-4 cos(θ)^2 + 3 sin(θ)^4 + 1)/(3 (sin(θ)^2 + 1)^2)

che tende a +8/3 o -8/3 a seconda che si tenda a -pi/2 o a +pi/2

In conclusione, siccome prendiamo in considerazione solo il I e i IV quadrante, ci troviamo in rho=0 con una curvatura nulla ma derivante da due fenomeni distinti (parte sul I e parte sul IV quadrante)

Sul disegno dinamico https://www.geogebra.org/m/vcpmk38r lo possiamo vedere se portiamo il punto A sul III o sul II quadrante.

fp

[JTS]

Post by Furio Petrossi
che tende a +8/3 o -8/3 a seconda che si tenda a -pi/2 o a +pi/2

Il calcolo non lo ho ancora fatto ...

ma avendo considerazione per la mia pigrizia, la tangente allora non
esiste nell'origine?

Credo che i rami che non interessano possiamo trascurarli, esiste una
parametrizzazione che non te li fa percorrere.

[mo_mo]

Post by Luciano Buggio
Chi si occupa di fisica vien chiamato fisico, chi di matematica matematico.
E chi si occupa di geometria?
Una volta si chiamava geometra, oggi il termine indica un altro mestiere, perchè la geometria è finita, si dice, morta, non c'è niente di nuovo da dire.

Geometrico.

Ho conosciuto un professore di anatomia, che si definiva un anatomico e
detestava il termine anatomista.

[Furio Petrossi]

Post by Luciano Buggio
E l'uovo?

Ho messo la tua costruzione su
https://www.geogebra.org/m/vcpmk38r
Dimmi se desideri dei cambiamenti

Furio

[Luciano Buggio]

Post by Furio Petrossi

Post by Luciano Buggio
E l'uovo?

Ho messo la tua costruzione su
https://www.geogebra.org/m/vcpmk38r
Dimmi se desideri dei cambiamenti

Nessun cambiamento.
Grazie.

Luciano Buggio

[Yoda]

Post by Furio Petrossi

Post by Luciano Buggio
E l'uovo?

Ho messo la tua costruzione su
https://www.geogebra.org/m/vcpmk38r
Dimmi se desideri dei cambiamenti

Troppo bello questo Geogebra! devo decidermi a mettermelo una buona
volta! adesso con quest'uovo e' ancor piu' chiaro che con la RR.

Pero' dovreste precisare di che bestia e', perche' il classico va con
la iii potenza di cos(theta), non col quadrato (ricordo certamente bene,
cfr. ad es. Gino Loria).
In altre parole tu - cioe' penso Luciano - prendi rho=OP' uguale alla
proiezione di OP sul diametro.. uovo di struzzo? laddove invece per
l'uovo di Pasqua rho=OP' e' la proiezione su OP della proiezione
suddetta (curva del sest'ordine).

Aggiungo ancora (ma sai? io a mente sono Geogebra ma anche non lo sono)
che le differenze tra uovo-vostro e uovo-pasquale dovrebbero essere del
tutto trascurabili mi sembra proprio ciao

Postilla. L'ovale non e' necessariamente un uovo, nel senso che puo'
avere doppia simmetria; il piu' famoso del mondo e' quello di San
Pietro (piazza, Roma). Quello di Cartesio invece serve solo per le
linee aplanetiche (aberrazione zero) nella sua ottica geometrica
(rifrazione) ariciao