differenziale non esatto: significato

[PaoloA]

ciao,
ripropongo qui un quesito che ho gia' posto sul newsgruppo di
matematica ma che non ha ricevuto risposta.
La risposta al quesito stesso forse ha delle ragioni in qualche modo
connesse con la fisica quindi non mi sento completamente fuori tema.

Ho una funzione (e' un'energia) di 2 variabili x e y ( E(x,y) ) , e
vale la seguente relazione : x=-y

A questo punto nel testo si fa la variazione della funzione; indico
con d il simbolo
che si usa per indicare una variazione di calore (dQ), che non e' un
differenziale esatto, e
indico con @ il simbolo di derivata parziale.

dE(x,y)=1/2 ( @E/@x dx + @E/@y dy )

A quanto ho capito il motivo del 1/2 e' da attribuirsi al fatto che x
e y non sono
variabili indipendenti.
(a me veniva spontaneo scrivere la variazione della funzione come:
dE(x,y)= @E/@x dx + ( @E/@y) ( @y/@x) dx )

Qualcuno ha idea del significato fisico/geometrico che ha questo tipo
di variazione?

Ovvero, se penso al differenziale di una funzione questo per me serve
per avere l'approssimazione lineare nel punto della funzione stessa.
Se ho un vincolo (per esempio x=-y) significa che mi restringo alla
variazione della funzione a piu' variabili lungo il vincolo stesso.

Con questo tipo di variazione che cosa si ottiene?

grazie
ciao
Paolo

[cometa_luminosa]

Post by PaoloA
ciao,
ripropongo qui un quesito che ho gia' posto sul newsgruppo di
matematica ma che non ha ricevuto risposta.
La risposta al quesito stesso forse ha delle ragioni  in qualche modo
connesse con la fisica quindi non mi sento completamente fuori tema.
Ho una funzione (e' un'energia) di 2 variabili x e y  ( E(x,y) ) , e
vale la seguente relazione : x=-y
A questo punto nel testo si fa la variazione della funzione; indico
con d il simbolo
che si usa per indicare una variazione di calore (dQ), che non e' un
differenziale esatto, e
A quanto ho capito il motivo del 1/2 e' da attribuirsi al fatto che x
e y non sono
variabili indipendenti.
Qualcuno ha idea del significato fisico/geometrico che ha questo tipo
di variazione?

Mi sembra che ci sia un po' di confusione (non necessariamente tutta
per colpa tua).

1. Quando si parla di "variazione" di qualcosa, bisogna stare bene
attenti, perche' si puo' intendere parecchie cose differenti, il
significato non e' univoco. Devi precisare il contesto. Es. : quando
faccio variare l'azione in meccanica classica, di solito si fissa il
tempo e si fanno variare le funzioni q_n(t) tranne che all'istante
iniziale e finale; ma la si puo' far variare soltanto nell'istante
finale; la si puo' far variare solo variando il tempo....le
possibilita' sono parecchie.

2. Se tu puoi scrivere il differenziale di una funzione E come:
dE(x,y) = @E/@x dx + @E/@y dy, automaticamente quello e' un
differenziale esatto, se non altro perche' la funzione E dipende solo
dal punto (x,y) e non dal cammino.

3. Se x = -y allora puoi scrivere dy = -dx e quindi:
dE(x,y) = @E/@x dx - @E/@y dx quindi non capisco che c'entri quell'
"1/2".

Post by PaoloA
Ovvero, se penso al differenziale di una funzione questo per me serve
per avere l'approssimazione lineare nel punto della funzione stessa.
Se ho un vincolo (per esempio x=-y) significa che mi restringo alla
variazione della funzione a piu' variabili lungo il vincolo stesso.
Con questo tipo di variazione che cosa si ottiene?

Si ottiene la variazione della funzione E sulla curva y(x).
Esempio: E(x,y) e' la quota di un punto (x,y) su una montagna. La
quota quindi puo' variare fissando la x e variando la y, o viceversa o
nel seguente modo: seguo un sentiero sulla montagna, che essendo una
curva parametrizzo come y = y(x) o viceversa x(y), nell'intorno di un
punto. Facendo variare la x, la y varia di conseguenza e cosi' la
variazione di E su questa curva risponde alla domanda: "di quanto
varia la quota quando mi sposto su quel sentiero?

[cometa_luminosa]

Post by cometa_luminosa
Esempio: E(x,y) e' la quota di un punto (x,y) su una montagna.

Qui avrei dovuto essere un po' piu' preciso: la quota di un punto
(x,y,z) su una montagna corrispondente al punto (x,y) sul piano
orizzontale al livello del mare.

[Giorgio Pastore]

Post by cometa_luminosa

Post by PaoloA
ciao,
ripropongo qui un quesito che ho gia' posto sul newsgruppo di
matematica ma che non ha ricevuto risposta.
La risposta al quesito stesso forse ha delle ragioni in qualche modo
connesse con la fisica quindi non mi sento completamente fuori tema.
Ho una funzione (e' un'energia)

Energia di che ? qual e' il significato fisico di x e y ? (La domanda
e' comunque solo marginalmente rilevante per quanto segue.

di 2 variabili x e y ( E(x,y) ) , e

Post by cometa_luminosa

Post by PaoloA
vale la seguente relazione : x=-y
A questo punto nel testo si fa la variazione della funzione; indico
con d il simbolo
che si usa per indicare una variazione di calore (dQ), che non e' un
differenziale esatto,

<mode pedantic on>
Orrore!!! :-) variazione di calore ?
Il calore NON e' una proprieta' ( == non e' una funzione dello stato)
e quindi ha senso parlare di calore trasferito ma non differenze di
calore "posseduto" e quindi nemmeno di variazione di calore.
<mode pedantic off>

Post by cometa_luminosa

Post by PaoloA
e

Qui ho difficolta' a capire bene l' impostazione del problema. Se dE
e' definito dal membro a destra allora non e' il differenziale di E
proprio perche' c'e' il fattore 1/2. Sarebbe allora stato preferibile
usare un simbolo diverso (anche in un post in ascii-puro). Se invece per
dE si intende il differenziale di E, allora questo, nell' ipotesi di E
differenziabile, coincide con la variazione della funzione in
corrispondenza di variazioni dx e dy delle variabili, a meno di
correzioni di ordine almeno quadratico in dx e dy. E non c'e' il fattore 1/2

Post by cometa_luminosa

Post by PaoloA
A quanto ho capito il motivo del 1/2 e' da attribuirsi al fatto che x
e y non sono
variabili indipendenti.

Fantasioso ma poco credibile...

...

Post by cometa_luminosa
1. Quando si parla di "variazione" di qualcosa, bisogna stare bene
attenti, perche' si puo' intendere parecchie cose differenti, il
significato non e' univoco. Devi precisare il contesto. Es. : quando
faccio variare l'azione in meccanica classica, di solito si fissa il
tempo e si fanno variare le funzioni q_n(t) tranne che all'istante
iniziale e finale; ma la si puo' far variare soltanto nell'istante
finale; la si puo' far variare solo variando il tempo....le
possibilita' sono parecchie.

In questo caso mi sembra pero' che, a parte i dubbi sulla formulazione
esatta sopra riportati, si considerano variazioni in x e y, vincolate
dalla condizione y=-x.

Post by cometa_luminosa
differenziale esatto, se non altro perche' la funzione E dipende solo
dal punto (x,y) e non dal cammino.

Piu' semplicemente perche' la definizione di diff. esatto e' che
esista una funzione E(x,y) le cui derivate parziali diano i
coefficienti di dx e dy nella forma differenziale.

Post by cometa_luminosa
"1/2".

Concordo. Anche se ho in mente un caso in cui si potrebbe facilmente
fare confusione con il fattore 1/2. Preferisco pero' avere maggiori
lumi sul significato delle quantita' in gioco, piuttosto che aggiungere
confusione. :-)

Giorgio

[PaoloA]

ciao,

Post by Giorgio Pastore
Qui ho difficolta' a capire bene l' impostazione del problema. Se dE
e' definito dal membro a destra allora non e' il differenziale di E
proprio perche' c'e' il fattore 1/2. Sarebbe allora stato preferibile
usare un simbolo diverso (anche in un post in ascii-puro).

E' proprio questo il problema: cos'e' questa formula (proprio perche'
siamo in un contesto di ascii ho specificato che sebbene scrivessi "d"
non e' da leggersi come il simbolo di differenziale esatto)

Post by Giorgio Pastore

Post by PaoloA
A quanto ho capito il motivo del 1/2 e' da attribuirsi al fatto che x
e y non sono
variabili indipendenti.

Fantasioso ma poco credibile...

eppure subito sotto la formula incriminata nel testo si legge che il
fattore 1/2 discende dal fatto che x=-y.

Mi pare che sia tu che cometa luminosa vogliate sapere cos'e' quella
"strana" variazione che ho descritto per poter dare ulteriori
delucidazioni...

dE(x,y)=1/2 ( @E/@x dx + @E/@y dy )
con x=-y (e con d:= "variazione non esatta", e @:= derivata parziale)

io pero' ho scritto la mail precedente proprio perche' non ho ben
chiaro di
che tipo di variazione si tratti!
(in particolare, per cometa luminosa, sto cercando di capire il
significato geometrico della variazione qui sopra riportata
in cui appare l' 1/2 e non del differenziale esatto con un vincolo).

Qualora potesse essere d'aiuto specifico il contesto in cui mi trovo.

Siamo in un ambito di principi variazionali in MQ si stanno ricavando
le equazioni Hartree Fock Bogoliubov.
Ho un' Hamiltoniana, calcolo il valore dell'energia su uno stato e
ottengo che questa e' funzione di una matrice antisimmetrica "k_{ij}=-
k_{ji}". In generale voglio che la variazione dell'energia con un
vincolo sugli stati su cui e' calcolata sia nulla (cerco lo stato
fondamentale).
Il vincolo riguarda la forma degli stati su cui calcolo l'energia e
dipende dalla matrice "kappa" ( per ricollegarmi alla formula che ho
scritto sopra k_{12}=x ; k_{21}=y).

Il mio problema risulta quindi essere: la formula con l'1/2 che
significato geometrico ha?

ciao ciao
Paolo

[Elio Fabri]

Post by PaoloA
...
eppure subito sotto la formula incriminata nel testo si legge che il
fattore 1/2 discende dal fatto che x=-y.
Siamo in un ambito di principi variazionali in MQ si stanno ricavando
le equazioni Hartree Fock Bogoliubov.
Ho un' Hamiltoniana, calcolo il valore dell'energia su uno stato e
ottengo che questa e' funzione di una matrice antisimmetrica "k_{ij}=-
k_{ji}". In generale voglio che la variazione dell'energia con un
vincolo sugli stati su cui e' calcolata sia nulla (cerco lo stato
fondamentale).

Primo: per favore dimentica i "differenziali non esatti" che qui
c'entrano proprio come il classico cavolo a merenda.

Secondo: lo so che dirlo ora non vale, ma giuro che quando ho letto il
tuo post mi sono detto "questo mi puzza di forma quadratica costruita
con una matrice antisimmetrica".

Ora ti chiedo: ma non sara' banalmente questione di come e' definita la
somma nella tua hamiltoniana?
Voglio dire: si somma su tutti i valori degli indici, o solo per i<j ?

[Giorgio Pastore]

PaoloA wrote:
...

Post by PaoloA
E' proprio questo il problema: cos'e' questa formula (proprio perche'
siamo in un contesto di ascii ho specificato che sebbene scrivessi "d"
non e' da leggersi come il simbolo di differenziale esatto)

...

Riassumendo (e tirando ad indovinare): nel libro (o articolo) c'e' un
delta, invece di una d ? A questo punto opterei non per il
"differenziale non esatto" ma per la notazione (piu' consueta) di
variazione di E (da intendersi nello stesso senso del teorema del
differenziale: variazione a meno di infinitesimi di ordine superiore in
dx,dy).

....

Post by PaoloA
(in particolare, per cometa luminosa, sto cercando di capire il
significato geometrico della variazione qui sopra riportata
in cui appare l' 1/2 e non del differenziale esatto con un vincolo).
Qualora potesse essere d'aiuto specifico il contesto in cui mi trovo.

...

Post by PaoloA
Ho un' Hamiltoniana, calcolo il valore dell'energia su uno stato e
ottengo che questa e' funzione di una matrice antisimmetrica "k_{ij}=-
k_{ji}". In generale voglio che la variazione dell'energia con un
vincolo sugli stati su cui e' calcolata sia nulla (cerco lo stato
fondamentale).
Il vincolo riguarda la forma degli stati su cui calcolo l'energia e
dipende dalla matrice "kappa" ( per ricollegarmi alla formula che ho
scritto sopra k_{12}=x ; k_{21}=y).
Il mio problema risulta quindi essere: la formula con l'1/2 che
significato geometrico ha?

A questo punto temo che dovresti dare esattamente le espressioni per E
in funzione dei k e anche il significato dei simboli: tra somme su i<j,
variabili antisimmetriche, possibili quantita' complesse (con
variazioni indipendenti fatte su una quantita' e la sua complessa
coniugata) e una certa probabilita' di errori nel testo (per citare le
piu' frequenti cause di confusione) e' impossibile fare una diagnosi
a distanza :-)
Per esperienza, occorre mettersi con molta attenzione a seguire i
calcoli passo per passo per convincersi (spesso) che tutto e' in ordine.

Giorgio

[PaoloA]

ciao,

Rispondo a solo a Giorgio per non rendere dispersivo il thread,
in fondo sia tu che Elio avete chiesto cose simili.

La formula dell'energia e' la (A1) del seguente articolo:
http://arxiv.org/abs/nucl-th/0203056
(Ho indicato questo articolo perche' e' facilmente reperibile)

I miei dubbi riguardano gli 1/2 delle formule dalla (A4) alla (A6).

in particolare nel:
"Quantum Theory of Finite Systems" di J-P. Blaizot e G. Ripka,
1986 MIT, formule 7.72 e 7.73 vi e' la seguente formula:

dE= \sum_{ij} {

@E/@r_{ij} dr_{ij} }

+1/2 \sum_{ij} {
@E/@k1_{ij} dk1_{ij}
@E/@k1_{ij} dk1_{ij}
}

Dove d= \delta, @=derivata parziale, r= \rho, k1= \kappa^* e k2=
\kappa.
E la frase "incriminata" e' :
"The factor 1/2 arises from the antisymmetry of the matrices \kappa
and \kappa^*.

Faccio notare che ho usato la notazione di differenziale non esatto
semplicemente perche' alla mie perplessita' su come la formula
venisse ricavata mi e' stato detto che, appunto, non era da
interpretarsi come un
differenziale.

Un paio di persone mi hanno suggerito la seguente procedura di
variazione:
"visto che k_ij=-k_ji e quindi non sono variabili indipendenti
quando fai la variazione della funzione devi
far variare solo le variabili indipendenti e dimenticarti di quelle
dipendenti"

Aggiungo che anche a me e' venuto il dubbio che potessero essere delle
questioni di
indici sulla sommatoria ( i<j) ma in almeno 2 luoghi differenti ho
trovato la stessa
scrittura, dove non ci sono limiti sulla sommatoria.

ciao ciao
Paolo